$p$ tabanindaki sayilarin basamak toplamlari ve ucgen esitsizligi

0 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi

Asagidaki tanimlari aslinda taban aritmetiginden biliyoruz..

$n$ negatif olmayan bir sayi olsun, $p$ asal bir sayi olsun.
$n=n_0+n_1p+\cdots+n_tp^t$ da $n$ sayisinin $p$-sel yazilimi olsun. (yani, tum $i\geq0$ icin $0 \leq n_i\leq p-1$).
$s_p(n)$ de bu katsayilarin toplami olsun, yani  $s_p(n) :=\sum\limits_{i=0}^t n_i$.

ispatla ya da curut: Her $a,b \in \mathbb N$ icin $s_p(a+b) \leq s_p(a)+s_p(b)$.

3, Temmuz, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,213 puan) tarafından  soruldu
3, Temmuz, 2015 Sercan tarafından düzenlendi

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Eğer $a_i+b_i \geq p$ ise $s_p(a+b)<s_p(a)+s_p(b)$ çünkü toplam eldeli olacağı için öbür basamağa devreder. Sayının basamak değerinin artması ise sayının rakamları toplamının küçülmesine neden olur. Örn: $p=7$ için, $(5)_7+(4)_7=(12)_7$ olur ve $1+2<5+4$'tür. Eğer $a_i+b_i<p$ ise $s_p(a+b)=s_p(a)+s_p(b)$ olur çünkü bu toplamda elde olmayacağından basamak kayması da olmaz bu da sayı değerlerinin değişmemesini sağlar. Örn: $p=11$ için,  $(5)_{11}+(4)_{11}=(9)_{11}$ olur ve $5+4=9$'dur.

Soruyu yanlış anlamadıysam cevabı böyle hocam.

3, Temmuz, 2015 sonelektrikbukucu (2,871 puan) tarafından  cevaplandı

tabi bu ispat olmuyor ama bu dusuncelerle ispatlanabilir.

Tam ispatı ben de merak ettim şu an.

yukardaki fikirle ispatlayabilirsin bence.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Herhangi es katsayilarin toplami $p-1$'den buyukse toplam kuculur. 

Yani demek istedigim: $p \leq a_i+b_i \leq 2(p-1)$ ise $s(a_i+b_i)= (a_i+b_i-p)+1$ olur , yani ilk durumun $p-1$ eksigi.

Bu fikri tumevarimla desteklersek ispat tamamlanmis. Bu kisim da okuyucuya kalsin.

Ayrica her es katsayi toplami $p$'den kucuk ise toplamin degismeyecegini de soylemek lazim.

3, Ağustos, 2015 Sercan (23,213 puan) tarafından  cevaplandı
...