Dwork usselinin (exponential) acilimindaki katsayilar

Question

$\Theta(T)=e^{\pi(T-T^q)}=\sum\limits_{n\geq0}A_nT^n=1+\pi T+\cdots$ olacak sekilde Dwork usselini dusunursek $A_n$ katsayilari bize hangi bilgileri verir? Bu ussel'i neden tanimlama geregi duymus olabilir?

Not: Burda $\pi$ degeri $X+\frac1pX^p=0$'in $\mathbb C_p$'de sifir olmayan bir koku. (yani $\pi^{p-1}=-p$.)

Bilgi derken de: Mesela bir egrinin Zeta fonksiyonu o egrinin uzerinde bulunan $q=p^f$-rasyonel noktalarin sayisi hakkinda bilgi verir.

Tabi burda Dwork usseli $\pi$'nin, yani $p$'nin, disinda hic bir dis etkene bagli degil. Lakin Gross-Koblitz formulunu ya da bunun br cikarimi olan (corollary) Stickelberger teoreminin ispatlamakta kullaniliyor. Kisacasi katsayilarinin $p$-sel yogunlugu ise yariyor. 

Comments

Tabi burda $p$ asal, $q=p^f$, $1 \leq f \in \mathbb Z$.