Sonsuz toplam

Question

$(sin 45)^n$ sayılarının  n=1 den $n=\infty$ 'ye kadar olan 

toplamının yarısı,  hangi iki tamsayı arasındadır?

Comments

1 ile 2 arasında mı acaba?

---

Cevabı nasıl bulduğunuzu Cevap bölümüne yazmalısınız.

Answer 1

Azalan bir geometrik dizidir. Ortak çarpan $r=\frac{1}{\sqrt 2} <1$ olduğundan  

Limit (yani toplam) =$\frac{1}{1-r}$ formülüyle bulunur.

n=1 den $n=\infty$ 'a  kadar olan bu  toplam = $1+2\sqrt 2$ olarak bulunur.

Bu toplamın yarısı =$\frac {1+2\sqrt 2}{2} =\frac{1}{2}+\sqrt 2$

 =0,5 + 1,414=1,914  olduğundan 

bu sayı (1,2) aralığındadır.

Bu soru ile ilgilenenlere çok  teşekkür ederim.

Answer 2

$\frac{1}{\sqrt{2}}.(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+(\frac{1}{\sqrt{2}})^2+...+0)$ 

İfadesinin gene toplamı.

$\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$ 

$\sqrt{2}≈1,4$ olduğuna gore.$\frac{1}{2.(\sqrt{2}-1)}$ sayısı 1 ile 2 arasındadır.

Answer 3

$\frac 12\sum_{n=1}^{\infty}(sin45)^n=\frac 12\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{\sqrt2})^n=\frac 12.\frac{1}{\sqrt2}(1+\frac{1}{\sqrt2}+(\frac{1}{\sqrt2})^2+...)$

$=\frac{1}{2\sqrt2}.\frac{1}{1-\frac{1}{\sqrt2}}=\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt2-1}=\frac{\sqrt2+1}{2}$ olduğundan bu bu sayı $(1,2)$ aralığındadır.

Comments

Hocam burdan sayı 1 ile 2 arasında çıkmaz mı?

---

Niçin acaba? Açıklayabilir misiniz?

---

kök 2 yaklaşık olarak 1,4 olduğu için (1,4+1)/2 yani yaklaşık olarak 1,2 çıkar. Yani 1 ile 2 arasındadır.

---

Merhaba Özcan, peki, Sayın metok, sonucu niçin (0,1) aralığında bulmuş?

---

Son anda  bir hata olmuş. Düzelttim. Dikkatli arkadaşlara teşekkürlerimi sunarım.