$G/H$ bölüm uzayının topolojik grup olması

Question

$G$ bir topolojik grup;$H$, $G$ nin altgrubu olsun.Çalıştığım bir kaynakta  $G/H$ nın $G$ ile öteleme altında homojen bir uzay olduğunun ispatı aşağıdaki gibi yapılmış:

Bir $x\in G$  elemanının $G/H$ üzerine sol öteleme ile etkisi  $gH{\mapsto}xgH$ ile verilir.Bu dönüşümün tersi $gH{\mapsto}x^{-1}gH$ olduğundan sadece birinin açık dönüşüm olduğunu göstermek ilk dönüşümün homeomorfizm olduğunu göstermek için yeterlidir.$\overline{U}$,  $G/H$ nın açık bir altkümesi olsun. Bu durumda $\overline{U}$ nun $\rho$ altındaki ters görüntüsü $G$ nin bir $U$ açık altkümesine eşittir. Ayrıca $g\overline{U}$ nun da $\rho$ altındaki ters görüntüsü $gU$ olup $U$ açık ve $G$ topolojik grup olduğundan $gU$, $G$ de açıktır. Böylece $g\overline{U}$ de açıktır.Dolayısıyla $\rho$ açıktır.

 Çalıştığım kitapta yukarıdaki ispat verildikten sonra  $H$ normal ise $G/H$ nın topolojik grup olduğunu göstermek için çarpma işleminin ve ters dönüşümün sürekli olduğunu gösteriyor. Çarpma işleminin sürekli olduğu ise aşağıdaki gibi gösterilmiş:

$T_{g}$, $g$ ile sol çarpma yani $T_{g}(x)=gx$ ve $\rho:G$ $\rightarrow$ $G/H$ kanonik projeksiyon olsun. Her $x\in G$ için 

($p$$\circ$$T_{g}$) $(x)$= $gxH$=$(gH)(xH)$=($T_{p(g)}$$\circ$$p$)$(x)$ olup  $T_{p(g)}$ sürekli olduğundan çarpma işlemi süreklidir. 

Benim sormak istediğim ise $T_{p(g)}$ nin sürekliliğinden çarpma işleminin sürekliliği nasıl elde ediliyor? ve  $gH{\mapsto}xgH$ ile verilen dönüşümün homeomorfizm olduğu öncesinde verilmesine rağmen çarpma işleminin sürekliliği için niçin bir daha $T_{p(g)}$ nin sürekliliği gösteriliyor.

Comments

Notasyonu falan açıklasanız daha iyi olmaz mı? Hem soruyu daha sonra buradan okuyacak ve ingilizce bilmeyen kişiler faydalanır hem de soruyu yanıtlamaya niyetli kişiler bir dosya indirip üstüne bir de nerede ne tanımlanmış falan diye aramak zorunda kalmazlar.

---

Hocam, öneriniz için teşekkürler. Bu konuda haklısınız. Elimden geldiğince sorduğum soruyu tekrar düzenlemeye çalıştım.

---

Güzel olmuş, eline sağlık. Bu arada sorduğun sorunun yanıtını da anladın değil mi?

---

Hocam, sorduğum sorunun cevabını tam olarak anlamadım. Tekrar bakacağım hocam. Cevanınız için çok teşekkür ederim hocam.

---

ilgili: http://matkafasi.com/5760/bir-fonksiyonun-surekliligi-metrik-uzaylar-ustune

Answer 1

1) $gH\longmapsto gxH$ homeomorfizma demiyor $gH\longmapsto xgH$ homeomorfizma diyor. $G/H$ üzerindeki çarpmanın sürekli olması için $\overline{g}$ ile çarpmanın $G/H$ üzerinde sürekli olması gerekiyor. Senin söylediğin yerde $g$ ile çarpmanın $G/H$ üzerinde sürekli olduğunu söylüyor. Buradan da gerekli sonucu çıkartmak için $\overline{g}$ ile çarpmayı açık bir fonksiyonla bileşkeye sokup sürekli bir fonksiyon buluyor ve böylece $\overline{g}$ ile çarpmanın sürekli olduğu sonucuna ulaşıyor.

2) $T_{p(g)}$ fonksiyonu $\overline{g}$ ile çarpmanın açık bir fonksiyonla bileşkesi. Bu yüzden sürekliliği $G/H$ üzerindeki çarpmanın sürekliliği anlamına geliyor.

Answer 2

$\bar m:G/H\times G/H\mapsto G/H$, $G/H$ üzerindeki çarpma işlemini göstersin.  $\overline{U}$, $G/H$ da açık olsun. $\bar m^{-1} ( \overline{U})$ nun açık olduğunu göstermeliyiz:

$(\bar{x},\bar{y})\in \bar m^{-1} ( \overline{U})$ olsun. Buna göre $\bar{x}\bar{y}\in \overline{U}$ olur yani $xy\in UH$ dır.Bölüm topolojisinin tanımından $UH$ açık olup $xy\in V\subset UH$ olacak şekilde bir $V$ açığı vardır. $G$ üzerindeki çarpma işlemi  $m:G\times G \mapsto G$ sürekli olduğundan $m^{-1} (V)$ açıktır. $\rho$ açık olduğundan $\rho\times\rho:G\times G\mapsto G/H\times G/H$ da açıktır. Böylece $(\bar{x},\bar{y})\in \rho\times\rho(m^{-1} (V))$ açıktır.