⇒: f:I→X×Y sürekli olsun.
f:I→X×Y sürekli ve π1:X×Y→X sürekli ise π1∘f:I→X süreklidir. Diğeri de benzer şekilde yapılır.
⇐: Çarpım uzayının bir bazını al. Baz elemanlarının f altındaki ters görüntülerinin açık olduğunu göstermeye çalış.
B={U×V∣U∈τ1,V∈τ2} ailesi, X×Y kümesi üzerindeki çarpım topolojisi için bir bazdır.
B∈B⇒(∃U∈τ1)(∃V∈τ2)(B=U×V)
⇒f−1[B]=f−1[U×V]={z∣f(z)∈U×V}
={z∣((π1∘f)(z),(π2∘f)(z))∈U×V}
={z∣(π1∘f)(z)∈U,(π2∘f)(z))∈V}
={z∣z∈(π1∘f)−1[U],z∈(π2∘f)−1[V]}
={z∣z∈(f−1∘π−11)[U],z∈(f−1∘π−12)[V]}
={z∣z∈f−1[π−11[U]],z∈f−1[π−12[V]]}
={z∣z∈f−1[π−11[U]]∩f−1[π−12[V]]}
=f−1[π−11[U]]∩f−1[π−12[V]]
(U∈τ1)(π1:X×Y→X sürekli)⇒π−11[U]∈τ1⋆τ2 ...(1)
(V∈τ2)(π2:X×Y→Y sürekli)⇒π−12[V]∈τ1⋆τ2 ...(2)
(f:I→X×Y sürekli)(π−11[U]∈τ1⋆τ2)⇒f−1[π−11[U]]∈τ3 ...(3)
(f:I→X×Y sürekli)(π−12[V]∈τ1⋆τ2)⇒f−1[π−12[V]]∈τ3 ...(4)
(3),(4)⇒f−1[B]∈τ3 olur. O halde f süreklidir.