Koridorlardan geçebilecek en uzun merdiven

Question

a ve  b doğal sayıları  ikişer basamaklı asal sayılardır.

Ayrıca,   |a-b| asal sayıdır.

Genişliği a cm olan en geniş bir koridorla,

genişliği b cm olan en geniş bir koridor  birbirine diktir.

Köşeden geçirilebilecek en uzun merdivenin

uzunluğunun tam kısmı kaç cm dir?

Örnek:

a=11 cm, b=13 cm için en uzun merdivenin

uzunluğunun tam kısmı 33 cm dir.

Comments

Sanıyorum yer düzlemine Paralel konumda (yatay) geçirilecek en uzun merdiven boyu isteniyor.

---

Koridorların yüksekliklerinden  bahsedilmediği için yatay  geçirilecek en uzun merdiven boyunun tam kısmı  isteniyor.

---

İstenen $a,b$ sayıları cinsinden değil mi?

---

a ve b sayıları  ikişer basamaklı asal sayı olduğu için cevap örnekteki  gibi sayısal olmalıdır.

a ve b nin büyük değerleri dikkate alınmalıdır.

---

 

Sizin verdiginiz sayilar icin merdivenin uzunlugunun $\sqrt{13^2+11^2}=17.09$ olmasi gerekmez mi? Ben anlamadim soruyu..

---

Iki koridor L  seklinde birbirine dik yani koridor  90 derece donerek  devam ediyor.

---

Ben cevabı $(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}$ olarak buldum. Bu cevap doğru mu?

---

Calclulus kitabinda alistirma diye bu formulun bulunmasi istenmis. Sonrasi kolay degil mi?

Elinize saglik.

Answer 1

$m(\angle B)=90^0$ olmak üzere $\triangle ABC$ üçgenini çizelim. Bu üçgenin hipotenüsü üzerinde $|DC|<|AD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım, ve bu $D$ noktasından üçgenin dışına doğru $[DE//[BC],\quad [DF//[BA]$ çizelim.  $C$'den $[DE$'ye çizilen dikmenin ayağı$H$, $A$'dan $[DF$'ye inilen dikmenin ayağı ise $K$ noktası olsun. Eğer $|CH|=a,\quad|AK|=b$ denirse dar koridorun eni $a$ ve geniş koridorun eni de $b$ kadar alınmış olacaktır ($a<b$).Ayrıca $|AC|$ de, yatay konumda bu koridorlardan geçebilecek en uzun merdivenin boyu olacaktır.

Eğer $m(\angle CDH)=\alpha$ olursa $m(\angle KDA)=90-\alpha$ olacaktır. 

$\triangle CDH$ de $sin\alpha=\frac{a}{|DC|}\Rightarrow |DC|=\frac{a}{sin\alpha}......(1)$

$\triangle ADK$ de $sin(90-\alpha)=\frac{b}{|AD|}\Rightarrow |AD|=\frac{b}{cos\alpha}..(2)$ olur.  

$(1),(2)$ den $|DC|+|AD|=|AC|=\frac{a}{sin\alpha}+\frac{b}{cos\alpha}=f(\alpha)........(3)$ elde edilir.$|AC|=f(\alpha)$'nın maksimum olması için türevini almalıyız.

$f'(\alpha)=\frac{-acos\alpha}{sin^2\alpha}+\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}=0$ olacak ve 

$\frac{acos\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}\Rightarrow  acos^3\alpha=bsin^3\alpha\Rightarrow tan\alpha=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ bulunur. 

 Şimdi bir dar açısının ölçüsü $\alpha$ olan ve bu açının karşısındaki dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{a}$ diğer dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{b}$  olan bir dik üçgenden, 

$sin\alpha= \frac {\sqrt[3]{a}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ ve benzer olarak,

 $cos\alpha= \frac {\sqrt[3]{b}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ olarak bulunur. bu değerler $(3)$ de yerlerine yazılır ve düzenlenirse,

$|AC|=\frac{a. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{a}}+\frac{b. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{b}}$ olur. Paydalar rasyonel yapıldığında ,

$|AC|=\sqrt[3]{a^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}+\sqrt[3]{b^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$

$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}) \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$

$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}$ olacaktır.

Not:1) $a=11,\quad b=13$ değerleri için $|AC|$ yaklaşık olarak $33,901778$ bulunuyor.

2) $|AC|$ uzunluğunu maksimum yapan değerlerin( Sayın suitable2015 tarafından yapılan yardımla) $a=71$ birim, $b=73$ birim olduğunu ve bu değerlerde $|AC|=203,64020540433154$ birim olduğunu belirtmeliyim. Böylece maksimum merdiven uzunluğu $203$ birimdir.

Comments

Soru metnindeki örneği doğruladınız. 

Asal sayıların farklarının asal olduğu tek bir sayı var.

Şimdi artık a ve b farklı asal sayıların en büyükleriyle bulduğunuz  formüle göre 

en uzun merdivenin uzunluğunu veren a ve b değerlerini bulabilirsiniz. 

Yani |AC| nin  max olması için a=?,   b=?  (a ve b asal)

$ f(a,b)=|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32} $

 fonksiyonunun max olması için a ve b arasındaki  ilişki ?

---

Bunun $a<b$ için b-a=2\rightarrow b=a+2$ değeri formülde yerine yazıldığında oluşan f(a) fonksiyonunun türevi alınırsa çok uzun ve sıkıcı işlemlerden sonra bulunur diye düşünüyorum. fırsat bulunca uğraşacağım.

---

Sayın Metok,

Soru için çözüm yolunuz mükemmel.

Excel'de A sütununa asal sayıları,

B sütununa  =POWER()   yani üs alma fonksiyonu içine

 |AC| nin değerini yazarsanız 

a<b ve b=a+2 koşulunu sağlayan max değeri

tablodan rahatlıkla okuyabilirsiniz.

Böylece türev almaktan kurtulduk.

a= 71, b=73

Merdivenin max uzunluğu 

=203.64020540433154

Cevap=203 cm

Yeteri kadar uğraştınız, yorulmanızı istemedim.

Saygılarımla.

---

Bende size çok teşekkür ederim sayın suitable2015. Yorulduğuma değdi doğrusu. Ama ben ne yazık ki excel kullanamayı bilmiyorum. Ama yine de katkılarınıza yürekten teşekkürler. O zaman izin verirseniz daha sonra bu soru ile ilgilenecek okuyucular için sizin verdiğiniz bu verileri çözüme ilave edebilir miyim?

---

Şüphesiz, Evet !, İstediğiniz verileri çözüme dahil edebilirsiniz.

İnternetten veya kuracağınız programın yardımından (help) 

EXCEL'i rahatlıkla öğrenebilirsiniz. 

Üstelik bilgisayarınıza bedava kurabilirsiniz.

Türkçe Excel için Örnekler: 

1)  Libre Office için

https://tr.libreoffice.org

2)  Open Office için

https://www.openoffice.org/tr/