Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
2.1k kez görüntülendi

a ve  b doğal sayıları  ikişer basamaklı asal sayılardır.

Ayrıca,   |a-b| asal sayıdır.

Genişliği a cm olan en geniş bir koridorla,

genişliği b cm olan en geniş bir koridor  birbirine diktir.

Köşeden geçirilebilecek en uzun merdivenin

uzunluğunun tam kısmı kaç cm dir?

Örnek:

a=11 cm, b=13 cm için en uzun merdivenin

uzunluğunun tam kısmı 33 cm dir.


Serbest kategorisinde (3.9k puan) tarafından  | 2.1k kez görüntülendi

Sanıyorum yer düzlemine Paralel konumda (yatay) geçirilecek en uzun merdiven boyu isteniyor.

Koridorların yüksekliklerinden  bahsedilmediği için yatay  geçirilecek en uzun merdiven boyunun tam kısmı  isteniyor.

İstenen $a,b$ sayıları cinsinden değil mi?

a ve b sayıları  ikişer basamaklı asal sayı olduğu için cevap örnekteki  gibi sayısal olmalıdır.

a ve b nin büyük değerleri dikkate alınmalıdır.

image 

Sizin verdiginiz sayilar icin merdivenin uzunlugunun $\sqrt{13^2+11^2}=17.09$ olmasi gerekmez mi? Ben anlamadim soruyu..

Iki koridor L  seklinde birbirine dik yani koridor  90 derece donerek  devam ediyor.

Ben cevabı $(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}$ olarak buldum. Bu cevap doğru mu?

Calclulus kitabinda alistirma diye bu formulun bulunmasi istenmis. Sonrasi kolay degil mi?

Elinize saglik.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

$m(\angle B)=90^0$ olmak üzere $\triangle ABC$ üçgenini çizelim. Bu üçgenin hipotenüsü üzerinde $|DC|<|AD|$ olacak şekilde bir $D$ noktası alalım, ve bu $D$ noktasından üçgenin dışına doğru $[DE//[BC],\quad [DF//[BA]$ çizelim.  $C$'den $[DE$'ye çizilen dikmenin ayağı$H$, $A$'dan $[DF$'ye inilen dikmenin ayağı ise $K$ noktası olsun. Eğer $|CH|=a,\quad|AK|=b$ denirse dar koridorun eni $a$ ve geniş koridorun eni de $b$ kadar alınmış olacaktır ($a<b$).Ayrıca $|AC|$ de, yatay konumda bu koridorlardan geçebilecek en uzun merdivenin boyu olacaktır.

Eğer $m(\angle CDH)=\alpha$ olursa $m(\angle KDA)=90-\alpha$ olacaktır. 

$\triangle CDH$ de $sin\alpha=\frac{a}{|DC|}\Rightarrow |DC|=\frac{a}{sin\alpha}......(1)$

$\triangle ADK$ de $sin(90-\alpha)=\frac{b}{|AD|}\Rightarrow |AD|=\frac{b}{cos\alpha}..(2)$ olur.  

$(1),(2)$ den $|DC|+|AD|=|AC|=\frac{a}{sin\alpha}+\frac{b}{cos\alpha}=f(\alpha)........(3)$ elde edilir.$|AC|=f(\alpha)$'nın maksimum olması için türevini almalıyız.

$f'(\alpha)=\frac{-acos\alpha}{sin^2\alpha}+\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}=0$ olacak ve 

$\frac{acos\alpha}{sin^2\alpha}=\frac{bsin\alpha}{cos^2\alpha}\Rightarrow  acos^3\alpha=bsin^3\alpha\Rightarrow tan\alpha=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$ bulunur. 

 Şimdi bir dar açısının ölçüsü $\alpha$ olan ve bu açının karşısındaki dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{a}$ diğer dik kenar uzunluğu $\sqrt[3]{b}$  olan bir dik üçgenden, 

$sin\alpha= \frac {\sqrt[3]{a}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ ve benzer olarak,

 $cos\alpha= \frac {\sqrt[3]{b}}{\sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}$ olarak bulunur. bu değerler $(3)$ de yerlerine yazılır ve düzenlenirse,

$|AC|=\frac{a. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{a}}+\frac{b. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[3]{b}}$ olur. Paydalar rasyonel yapıldığında ,

$|AC|=\sqrt[3]{a^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}+\sqrt[3]{b^2}. \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$

$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}) \sqrt{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}$

$|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}$ olacaktır.

Not:1) $a=11,\quad b=13$ değerleri için $|AC|$ yaklaşık olarak $33,901778$ bulunuyor.

2) $|AC| $ uzunluğunu maksimum yapan değerlerin( Sayın suitable2015 tarafından yapılan yardımla) $a=71$ birim, $b=73$ birim olduğunu ve bu değerlerde $|AC|=203,64020540433154$ birim olduğunu belirtmeliyim. Böylece maksimum merdiven uzunluğu $203$ birimdir.







(19.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Soru metnindeki örneği doğruladınız. 

Asal sayıların farklarının asal olduğu tek bir sayı var.

Şimdi artık a ve b farklı asal sayıların en büyükleriyle bulduğunuz  formüle göre 

en uzun merdivenin uzunluğunu veren a ve b değerlerini bulabilirsiniz. 

Yani |AC| nin  max olması için a=?,   b=?  (a ve b asal)

$  f(a,b)=|AC|=(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2})^{\frac 32}  $ 
 fonksiyonunun max olması için a ve b arasındaki  ilişki ?


Bunun $a<b$ için b-a=2\rightarrow b=a+2$ değeri formülde yerine yazıldığında oluşan f(a) fonksiyonunun türevi alınırsa çok uzun ve sıkıcı işlemlerden sonra bulunur diye düşünüyorum. fırsat bulunca uğraşacağım.

Sayın Metok,

Soru için çözüm yolunuz mükemmel.

Excel'de A sütununa asal sayıları,

B sütununa  =POWER()   yani üs alma fonksiyonu içine

 |AC| nin değerini yazarsanız 

a<b ve b=a+2 koşulunu sağlayan max değeri

tablodan rahatlıkla okuyabilirsiniz.

Böylece türev almaktan kurtulduk.

a= 71, b=73

Merdivenin max uzunluğu 

=203.64020540433154

Cevap=203 cm

Yeteri kadar uğraştınız, yorulmanızı istemedim.

Saygılarımla.


Bende size çok teşekkür ederim sayın suitable2015. Yorulduğuma değdi doğrusu. Ama ben ne yazık ki excel kullanamayı bilmiyorum. Ama yine de katkılarınıza yürekten teşekkürler. O zaman izin verirseniz daha sonra bu soru ile ilgilenecek okuyucular için sizin verdiğiniz bu verileri çözüme ilave edebilir miyim?

Şüphesiz, Evet !, İstediğiniz verileri çözüme dahil edebilirsiniz.

İnternetten veya kuracağınız programın yardımından (help) 

EXCEL'i rahatlıkla öğrenebilirsiniz. 

Üstelik bilgisayarınıza bedava kurabilirsiniz.

Türkçe Excel için Örnekler: 

1)  Libre Office için

https://tr.libreoffice.org

2)  Open Office için

https://www.openoffice.org/tr/


20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,006 kullanıcı