$1$'i $1/k$ cinsindeki sayilarin toplami olarak yazma

1 beğenilme 0 beğenilmeme
113 kez görüntülendi

$t$ bir cift sayi olsun ve $k_1, k_2, \cdots,k_t$ de tek sayilar. 

$1=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+\cdots+\frac{1}{k_t}$

olarak yazabilir miyiz?

Ek olarak: Eger $t$ tek olsaydi: $3,5,7,9,11,15,35,45,231$ dizisi bunu sagliyor.

10, Mart, 2015 Serbest kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Hayır. Eğer böyle $k_1,...,k_t $ sayıları olsaydı

$k_1k_2...k_t=s_1+s_2+...+s_t$ olurdu. Burada $s_i$ sayısı $t_i$ hariç diğer $t_j$ lerin çarpımıdır. O halde eşitliğin sol tarafı bir tek sayı sağ tarafı ise $2m+1+...+1$ şeklindedir. Burada $t$ tane $1$ olacağından sağ taraf çift olur. Bu ise olanaksızdır.


10, Mart, 2015 UnluYusuf (525 puan) tarafından  cevaplandı
14, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş
1 beğenilme 0 beğenilmeme

a) t çift  ve $k_1,k_2,k_3,...,k_t$ tek sayılar olsun .Eğer $k_1=k_2=...=k_t$  o zaman $1=\frac1{k_1}+\frac1{k_2}+...+\frac1{k_t} = \frac{t}{k_1} =\frac1{k_1}$, ve $ t=1$ olmak zorundadır. Yani en iki $k$ değeri bir birinden farklıdır.

 Şimdi  $t$ çift bir doğal sayı ve $k_1,k_2,k_3,...,k_t$ sayılarıda birbirinden farklı tek sayılar iken varsayalım ki 

$1 = \frac1{k_1}+\frac1{k_2}+...+\frac1{k_t}$ eşitliği doğru olsun. Bu eşitliğin sağında payda eşitlemesi yapıldığında, her bir kesrin payı; tek sayıda tek sayının çarpımı yani tek sayı olacaktır.  Ortak payda ise tek sayıların çarpımı, yani tek sayı olacaktır. Çift sayıda kesir olduğundan, pay çift bir sayı olur. Pay paydaya tam olarak bölünmez. Bu sebeple sonuç bir olamaz. 

10, Mart, 2015 Mehmet Toktaş (18,358 puan) tarafından  cevaplandı

Özü itibariyle UnluYusuf Hoca'nın çözümünün aynısı.

...