W⊂Rn ile birim kubu gosterelim. Yani her bir koordinati 0≤xi<1 sartini saglayan (x1,⋯,xn) elemanlarinin kumesini.
1- Rn=⨆z∈Znz+W esitligini gosterin.
m sifiradan buyuk bir tamsayi, S de Rn'nin Lebesque olcumu m'den buyuk bir altkumesi olsun. V(S) ile S'nin Lebesgue olcumunu χS ile de S'nin karakteristik fonksiyonunu gosterelim (yani S'de 1 diger her yerde 0 degerini alan fonksiyonu).
2- Birinci kismi kullanarak su esitligi ispatlayin: V(S)=∫W(∑z∈ZnχS(w+z))dw
Integralin icindeki w⟶∑z∈ZnχS(w+z) fonksiyonunu f ile gosterelim.
3- W kumesinin Lebesgue olcumunun 1 ote yandan m<V(S) olmasini ikinci sorudaki esitlikle birlikte kullanarak f fonksiyonunun her zaman m'den kucuk ya da m'ye esit olamayacagini gosterin.
w0∈W, ucuncu soru saysinde varligini bilgimiz f(w)>m sartini saglayan bir eleman olsun. Yani ∑z∈ZnχS(w0+z)≥m+1>molsun.
4- Bir yukaridaki satirdaki ≥m+1 ifadesini anlamlandirin. m+1 nerden cikti, yalnizca m'den buyuk oldugunu biliyorduk?
5- Zn icinde z+w0∈S sartini saglayan en az m+1 tane eleman oldugunu gosterin.
6- Sayilarin Geometrisi: Rn icerisinde Lebesge olcumu m'den buyuk olan bir S kumesi verildiginde si−sj∈Zn sartini saglayan m+1 tane si∈S eleman her zaman bulunabilir. Ispatlayin.