$W\subset\mathbb{R}^n$ ile birim kubu gosterelim. Yani her bir koordinati $0\leq x_i<1$ sartini saglayan $(x_1,\cdots,x_n)$ elemanlarinin kumesini.
1- $$\mathbb{R}^n=\bigsqcup _{z\in \mathbb{Z}^n}z+W$$ esitligini gosterin.
$m$ sifiradan buyuk bir tamsayi, $S$ de $\mathbb{R}^n$'nin Lebesque olcumu $m$'den buyuk bir altkumesi olsun. $V(S)$ ile $S$'nin Lebesgue olcumunu $\chi_S$ ile de $S$'nin karakteristik fonksiyonunu gosterelim (yani $S$'de $1$ diger her yerde $0$ degerini alan fonksiyonu).
2- Birinci kismi kullanarak su esitligi ispatlayin: $$V(S)=\int_W\Big(\sum_{z\in \mathbb{Z}^n}\chi_S(w+z)\Big)dw$$
Integralin icindeki $w\longrightarrow \sum_{z\in \mathbb{Z}^n}\chi_S(w+z)$ fonksiyonunu $f$ ile gosterelim.
3- $W$ kumesinin Lebesgue olcumunun $1$ ote yandan $m<V(S)$ olmasini ikinci sorudaki esitlikle birlikte kullanarak $f$ fonksiyonunun her zaman $m$'den kucuk ya da $m$'ye esit olamayacagini gosterin.
$w_0\in W$, ucuncu soru saysinde varligini bilgimiz $f(w)>m$ sartini saglayan bir eleman olsun. Yani $$\sum_{z\in \mathbb{Z}^n}\chi_S(w_0+z)\geq m+1>m$$olsun.
4- Bir yukaridaki satirdaki $\geq m+1$ ifadesini anlamlandirin. $m+1$ nerden cikti, yalnizca $m$'den buyuk oldugunu biliyorduk?
5- $\mathbb{Z}^n$ icinde $z+w_0\in S$ sartini saglayan en az $m+1$ tane eleman oldugunu gosterin.
6- Sayilarin Geometrisi: $\mathbb{R}^n$ icerisinde Lebesge olcumu $m$'den buyuk olan bir $S$ kumesi verildiginde $$s_i-s_j\in \mathbb{Z}^n$$ sartini saglayan $m+1$ tane $s_i\in S$ eleman her zaman bulunabilir. Ispatlayin.