Reel sayilar uzerinde 3 boyutlu bolmeli cebir (division algebra) bulunamaz. Wikipedia makalesinden anladigim kadariyla "Yeni bir sayi sistemi tanimlanabilir mi?" sorunla bunu kastediyorsun.
Dedigin gibi Hamilton baya ugrasmis ama iyi ki cok ugrasmamis. Cunku 1877 yilinda Frobenius, reel sayilar uzerinde birlesmeli bolmeli cebirlerinin yalnizca 3 tane oldugunu ve bunlarin reel sayilar, karmasik sayilar ve kuaterniyonlar (dordeyler) oldugunu gostermis.
3 boyutlu (birlesmeli) reel bolmeli cebir olmayacaginin kaniti cok zor degil aslinda:
Diyelim ki $B$, $3$-boyutlu bir $\mathbb{R}$-bolmelicebiri olsun. $a \in B \setminus \mathbb{R}$ olsun (*). $$T : B \to B$$ fonksiyonunu $$T(x) = ax$$
olarak tanimlayalim. Yani $a$ ile soldan carpma. Halkanin tanimi geregi $a(x+y) = ax+ay$ oldugundan bu fonksiyon toplamsaldir. $\mathbb{R}$-cebir tanimi geregi $\mathbb{R}$, $B$'nin merkezinde oldugundan her $r \in \mathbb{R}$ icin $a(rx) = (ar)x = (ra) x = r(ax)$(**) olur ve bu da $T$'nin skaler carpmaya da saygi gosterdigini, dolayisiyla $T$'nin bir lineer transformasyon oldugunu gosterir.
Simdi $B$ icin bir $\mathbb{R}$-bazi alalim ve bu baza gore $T$'nin matrisini yazip, bu matrisin karakteristik polinomuna bakalim (bu karakteristik polinom bazdan bagimsizdir ve $T$'nin karakteristik polinomudur, $kar(T)$ olarak gosterecegim.). $kar(T)$ ucuncu dereceden reel katsayili bir polinomdur. Dolayisiyla, (ara deger teoremi geregi, istersen), bir (reel) koku olmak zorundadir. Bu koke $\lambda$ diyelim.
Yani, uzun lafin kisasi, soldan $a$ ile carpmanin bir reel oz-degeri vardir. Buna bagli olarak da bir ozvektoru, $v$ diyelim, vardir. Yani, $av = \lambda v$ olmalidir. Ama $a \neq \lambda$ cunku $\lambda \in \mathbb{R}$ ve $a \in B \setminus \mathbb{R}$. Ve bu bir bolmeli cebirde mumkun degildir cunku bu durumda $v$'nin tersi olamaz. Baska bir deyisle, $(a-\lambda) v = av - \lambda v = 0$ ama $v \neq 0$ ve $a - r \neq 0$. Yani, $B$'de sifirbolen olmak zorundadir. Bu da $B$'nin bolmeli cebir olmasiyla celisir.
*(teknik kisim: $\mathbb{R}$'yi, $B$'yi $\mathbb{R}$-cebiri yapan $\mathbb{R} \to B$ halka homomorfizmasinin goruntusuyle eslestirdim.).
** Burada birlesme ozelligi kullandim!
Frobenius'un teoreminin kaniti da cok zor degil. Lineer cebir yine. Ingilizce Wikipedia sayfasinda var. Birlesmeli (associative) olmayan durumda ise bir seyler daha yapmak gerekiyor.
Ekleme: (**)'da birlesmeli olma ozelligini kullaniyor muyum? Kullanmadan da yapabilir miyim?