Uc boyutta sayi sistemi

6 beğenilme 0 beğenilmeme
271 kez görüntülendi

Bilindigi gibi tam sayilar, rasyonel sayilar ve reel sayilar bir boyutlu dogru uzerinde tanimlanir. Karmasik sayilar ise iki boyutlu duzlemde tanimlanir.. Uc boyutta yeni bir sayi sistemi tanimlanabilinir mi? Gerci Hamilton baya ugrasmis ve bulamamis ancak dort boyutlu sayi sistemi tanimlamis (ilginc bir sekilde carpmaya gore degisme ozelligi yok)

https://tr.wikipedia.org/wiki/D%C3%B6rdey

30, Ekim, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Okkes Dulgerci (1,318 puan) tarafından  soruldu
$2^n$ boyutta sayi sistemi tanimlanabiliyor diye biliyorum. Ve her birinde bir onceki sayi sisteminde olan bir ozelligi kaybediyoruz. Ornegin reel sayilardan karmasik sayilara gecerken alisik oldugumuz siralamayi kaybederiz. Dediginiz gibi karmasik sayilardan 4 biyutlu sayi sistemine gecerken degisme ozelligini kaybediyoruz. Yanilmiyorsam maksimum da 8 boyutlu olabiliyor. Dedigim seylerin kanitlarini bilmiyorum ancak ben de arastiracagim.

Sayı sisteminden kasıt nedir?

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme

Sadece 1,2,4,8 de tanımlanabiliyor 8 den sonrası(daha az özellik istense bile) imkansız. 

J. F. Adams tarafından ispatlanmış. ($2^n$ dışında olamayacağı ispatı biraz daha kolay, 8 den sonra imkansız olduğu biraz daha zor: İki ispatı var biri $K$ teori ile, diğeri ikincil Steenrod operasyonları ile)

(2014 de Matematik köyünde birazını anlatmıştım.)

($\mathbb{R}^n$ de sıfır bölensiz, birim elemanlı ve sürekli çarpım sadece $n=1,2,4,8$ de tanımlanabilir.)

9, Kasım, 2015 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı

Okumalik oneriniz var mi hocam?

Hiperkompleks sayı ne demek?
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Reel sayilar uzerinde 3 boyutlu bolmeli cebir (division algebra) bulunamaz. Wikipedia makalesinden anladigim kadariyla "Yeni bir sayi sistemi tanimlanabilir mi?" sorunla bunu kastediyorsun.

Dedigin gibi Hamilton baya ugrasmis ama iyi ki cok ugrasmamis. Cunku 1877 yilinda Frobenius, reel sayilar uzerinde birlesmeli bolmeli cebirlerinin yalnizca 3 tane oldugunu ve bunlarin reel sayilar, karmasik sayilar ve kuaterniyonlar (dordeyler) oldugunu gostermis. 

3 boyutlu (birlesmeli) reel bolmeli cebir olmayacaginin kaniti cok zor degil aslinda:

Diyelim ki $B$, $3$-boyutlu bir $\mathbb{R}$-bolmelicebiri olsun. $a \in B \setminus \mathbb{R}$ olsun (*).  $$T : B \to B$$ fonksiyonunu $$T(x) = ax$$
olarak tanimlayalim. Yani $a$ ile soldan carpma. Halkanin tanimi geregi $a(x+y) = ax+ay$ oldugundan bu fonksiyon toplamsaldir. $\mathbb{R}$-cebir tanimi geregi $\mathbb{R}$,  $B$'nin merkezinde oldugundan her $r \in \mathbb{R}$ icin $a(rx) = (ar)x = (ra) x = r(ax)$(**) olur ve bu da $T$'nin skaler carpmaya da saygi gosterdigini, dolayisiyla $T$'nin bir lineer transformasyon oldugunu gosterir.

Simdi $B$ icin bir $\mathbb{R}$-bazi alalim ve bu baza gore $T$'nin matrisini yazip, bu matrisin karakteristik polinomuna bakalim (bu karakteristik polinom bazdan bagimsizdir ve $T$'nin karakteristik polinomudur, $kar(T)$ olarak gosterecegim.). $kar(T)$ ucuncu dereceden reel katsayili bir polinomdur. Dolayisiyla, (ara deger teoremi geregi, istersen), bir (reel) koku olmak zorundadir. Bu koke $\lambda$ diyelim.

Yani, uzun lafin kisasi, soldan $a$ ile carpmanin bir reel oz-degeri vardir. Buna bagli olarak da bir ozvektoru, $v$ diyelim, vardir. Yani, $av = \lambda v$ olmalidir. Ama $a \neq \lambda$ cunku $\lambda \in \mathbb{R}$ ve $a \in B \setminus \mathbb{R}$. Ve bu bir bolmeli cebirde mumkun degildir cunku bu durumda $v$'nin tersi olamaz. Baska bir deyisle, $(a-\lambda) v = av - \lambda v = 0$ ama $v \neq 0$ ve $a - r \neq 0$. Yani, $B$'de sifirbolen olmak zorundadir. Bu da $B$'nin bolmeli cebir olmasiyla celisir.

*(teknik kisim: $\mathbb{R}$'yi, $B$'yi $\mathbb{R}$-cebiri yapan $\mathbb{R} \to B$ halka homomorfizmasinin goruntusuyle eslestirdim.).
** Burada birlesme ozelligi kullandim!

Frobenius'un teoreminin kaniti da cok zor degil. Lineer cebir yine. Ingilizce Wikipedia sayfasinda var. Birlesmeli (associative) olmayan durumda ise bir seyler daha yapmak gerekiyor.

Ekleme: (**)'da birlesmeli olma ozelligini kullaniyor muyum? Kullanmadan da yapabilir miyim?
9, Kasım, 2015 Ozgur (2,098 puan) tarafından  cevaplandı
9, Kasım, 2015 Ozgur tarafından düzenlendi

Her tek $n$ için de bu ispat geçerli olmuyor mu?

** da birleşme özelliği gerekmez sadece $\mathbb{R}$ nin $B$ nin merkezinde olması yeterli.

Oluyor. Ben soru uc boyut dedigi icin oyle yazdim sadece.

$a(rx) = (ar)x$ derken kullanmam gerekmiyor mu birlesme ozelligini?

Galiba haklısın. $\mathbb{R}$ nin merkezde olması yetmeyecek galiba. Benim bahsettiğim daha genel ispatta birleşme özelliği de gerekmiyor.

...