Toplamlari carpimlarina esit olan ardasik uc tam sayi uclulerini bulunuz?

1 beğenilme 0 beğenilmeme
54 kez görüntülendi

Toplamlari carpimlarina esit olan ardasik uc tam sayi uclulerini bulunuz?

14, Ağustos, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Sercan (23,218 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$n\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $(-n,0,n)$ üçlüsünün toplamları ve çarpımları birbirine eşittir.

14, Ağustos, 2015 bertan88 (1,109 puan) tarafından  cevaplandı
21, Aralık, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

Hepsi bu kadar mı? Mesela $1,2,3$ de var.

Doğru.Peki $(-n,0,n)$ haricinde bu eşitliği sağlayan sonlu sayıda mı çözüm kümesi vardır ?

Aslında ben $+1$ ardaşıklı sormuştum. Denklem kurulduğunda hemen bulunabilir. Kafamdan biraz işlem yaptım, sonlu olmalı $+n$ durumu için de, yine de net konuşmayayım.

Şöyle bir şey yaptım :

Sayılarımız sırayla $a\:,\:a+b\:,\:a+2b$ olsun.Bu durumda ilk terim $a$ ve artış miktarı $b$ olur.

Toplamlar ve çarpımlar bir birine eşit ise :

$$3(a+b)=a(a^2+2b^2+3ab)$$

Sadeleştirelim.

$$3=\frac{a(a^2+2b^2+3ab)}{(a+b)}\tag{1}$$

$$3=\frac{a\Big((a+b)^2+b(a+b)\Big)}{(a+b)}$$

$$\boxed{3=a^2+2ab}$$

Olarak buluruz.Burada $a$ ve $b$ sayıları tam sayıdır.Yukarıdaki $(-n,0,n)$ üçlüsünün bu formülde işe yaramamasının nedeni $(1)$ numaralı işlemde her iki tarafı $(a+b)$ ile bölmemiz.

Buradan cevabı : $n\in\mathbb{Z}$ olmak üzere $(-n,0,n)$ , $(1,2,3)$ ve $(-1,-2,-3)$ olarak buluruz.

Evet, böyle. Kolaylık olsun diye ortadaki sayıya göre açılabilir: $a-b,a,a+b$. Burdan $a\ne0$ iken $a^2-b^2=3$ geliyor. Sadece biraz daha sade.

...