İlginç bir bağlantılı uzay örneği

2 beğenilme 0 beğenilmeme
128 kez görüntülendi
$X$ kümesi en az bir koordinati rasyonel sayı olan düzlemdeki noktaların kümesi olsun. Gösteriniz ki bu $X$ kümesi, indirgenmiş topoloji (induced topology) ile, bağlantılıdır. 
---
bağlantılı: connected
---
Basic Topology, Armstrong, Kısım 3.5, Alıştırma 30.
26, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu
26, Ekim, 2015 Enis tarafından düzenlendi

induced-reduced karışıklığı var sanırım literatürde.

nereye indirgeniyor, direk bos kumeye indirgerim ben. Galiba soru reel duzlemm topolojisini $X$'e indirge diyor.

Evet. Aksi belirtilmediği sürece hep Öklid uzaylarındaki sıradan (usual) topolojiyi düşünüyoruz.

Yol bağlantılı olduğunu göstermek de bir fikir. (yatay ve düşey doğru parçalarını birleştirerek)

Hatta yol bağlantılı olduğunu göstermek daha kolay gibi.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Önerme:  $X_i$ uzayları $X$ uzayının bağlantılı altuzayları ve $\bigcap_i X_i \neq \emptyset$ ise $\bigcup_i X_i$ bağlantılıdır. (Başka bir deyişle, kesişimi boştan farklı bağlantılı altuzayların bileşimi bağlantılıdır.)

İspatı bu önermeyi kullanarak yapacağız. Önce iki altuzay topluluğu tanımlayalım: Önce, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için

$$ A_q=\{(x,0):x\in \mathbb R\} \cup  \{(q,y): y \in \mathbb R \}$$

altuzayını, yani $x$ ekseniyle $x=q$ doğrusunun bileşimini düşünelim. Bu iki doğru da $\mathbb R$ ile homeomorfik olduklarından bağlantılıdır ve $(0,q)$ noktasında kesişirler. Dolayısıyla, en baştaki önermeden her bir $A_q$ altuzayı bağlantılıdır.

Aynı şekilde, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için tanımladığımız

$$ B_q=\{(x,q):x\in \mathbb R\} \cup  \{(0,y): y \in \mathbb R \} $$

altuzayının, yani $x=q$ doğrusu ve $y$ ekseninin bileşiminin de bağlantılı olduğunu görebiliriz.

Son olarak, bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarının her birinin orijini içerdiğini (dolayısıyla kesişimlerinin boştan farklı olduğunu) ve 

$$ X= (\bigcup_{q \in \mathbb Q} A_q) \cup (\bigcup_{q \in \mathbb Q} B_q)$$ 

olduğunu gözlemleyelim. Önermeyi bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarından oluşan topluluğa uyguladığımızda, $X$ uzayının bağlantılı olduğu sonucunu elde ederiz.

30, Temmuz, 30 zihni sinir (30 puan) tarafından  cevaplandı
...