İlginç bir bağlantılı uzay örneği

Question

$X$ kümesi en az bir koordinati rasyonel sayı olan düzlemdeki noktaların kümesi olsun. Gösteriniz ki bu $X$ kümesi, indirgenmiş topoloji (induced topology) ile, bağlantılıdır. 

---

bağlantılı: connected

---

Basic Topology, Armstrong, Kısım 3.5, Alıştırma 30.

Comments

induced-reduced karışıklığı var sanırım literatürde.

---

nereye indirgeniyor, direk bos kumeye indirgerim ben. Galiba soru reel duzlemm topolojisini $X$'e indirge diyor.

---

Evet. Aksi belirtilmediği sürece hep Öklid uzaylarındaki sıradan (usual) topolojiyi düşünüyoruz.

---

Yol bağlantılı olduğunu göstermek de bir fikir. (yatay ve düşey doğru parçalarını birleştirerek)

---

Hatta yol bağlantılı olduğunu göstermek daha kolay gibi.

Answer 1

Önerme:  $X_i$ uzayları $X$ uzayının bağlantılı altuzayları ve $\bigcap_i X_i \neq \emptyset$ ise $\bigcup_i X_i$ bağlantılıdır. (Başka bir deyişle, kesişimi boştan farklı bağlantılı altuzayların bileşimi bağlantılıdır.)

İspatı bu önermeyi kullanarak yapacağız. Önce iki altuzay topluluğu tanımlayalım: Önce, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için

$$A_q=\{(x,0):x\in \mathbb R\} \cup  \{(q,y): y \in \mathbb R \}$$

altuzayını, yani $x$ ekseniyle $x=q$ doğrusunun bileşimini düşünelim. Bu iki doğru da $\mathbb R$ ile homeomorfik olduklarından bağlantılıdır ve $(0,q)$ noktasında kesişirler. Dolayısıyla, en baştaki önermeden her bir $A_q$ altuzayı bağlantılıdır.

Aynı şekilde, her $q \in \mathbb Q$ rasyonel sayısı için tanımladığımız

$$B_q=\{(x,q):x\in \mathbb R\} \cup  \{(0,y): y \in \mathbb R \}$$

altuzayının, yani $x=q$ doğrusu ve $y$ ekseninin bileşiminin de bağlantılı olduğunu görebiliriz.

Son olarak, bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarının her birinin orijini içerdiğini (dolayısıyla kesişimlerinin boştan farklı olduğunu) ve 

$$X= (\bigcup_{q \in \mathbb Q} A_q) \cup (\bigcup_{q \in \mathbb Q} B_q)$$  

olduğunu gözlemleyelim. Önermeyi bütün $A_q$ ve $B_q$ altuzaylarından oluşan topluluğa uyguladığımızda, $X$ uzayının bağlantılı olduğu sonucunu elde ederiz.