Fonksiyon cisimlerinde yerleskelerin varligi

Question

Cikarim 1.1.16 ispatlanirken $\mathbb P_F \ne \emptyset$ kabulunde bulunmustuk. Zaten  $\mathbb P_F = \emptyset$ oldugunu dusunsenize, o kadar ispatta yerleske kullandik ve hic yerleske yok. Bu ispattan sonra sukur ki bir adet yerleske varmis diyecegiz ve su ana kadar yapmis oldugumuz her ispati gonul rahatligiyla fonksiyon cisimlerinde kullanabilecegiz. Iyi ki varsin yerleske!

Teorem 1.1.19: $F/K$ bir fonksiyon cismi ve $R$ de $F$ cisminin $K \subset R \subset F$ sartini saglayan bir alt halkasi olsun. Kabul edelim ki $0 \ne I \subsetneq R$ olacak sekilde $I$ kumesi $R$ halkasinin ideali olsun. Bu durumda $I \subset P$ ve $R \subset \mathcal O_P$ olacak sekilde bir $P \in \mathbb P_F$ yerleskesi vardir.

Cikarim 1.1.20: $F/K$ bir fonksiyon cismi ve $z\in F$ elemani da $K$ uzerinde askin olsun.  Bu durumda $z$ elemaninin en az bir adet sifiri ve en z bir adet kutubu vardir. Ozel olarak, $\mathbb P_F \ne \emptyset$.

Bu soru ile birlikte kitabin  "1. Cebirsel Fonksiyon Cisimler Teorisindeki Temeller" unitesi icerisinde olan "1.1 Yerleskeler" konusunu bitirmis oluyoruz.

Comments

Onceki sorular icin: link.

Answer 1

(Uzun uzun anlattigim icin ispat uzun gozukuyor olabilir, fakat uzun degil).

Ilk olarak  $$\mathcal F :=\{S \: \: | \: \: \text{$S$ kumesi $F$ cisminin  $R \subset S$ ve $IS\ne S$ sartlarini saglayanbir alt halkasi }\}$$ kumesini tanimlayalim. 

Hatirlatma: Burada $IS$ iki tane idealin carpimi, tanim geregi $a_\nu \in I$, $s_\nu \in S$ olmak uzere sonlu $\sum a_\nu s_\nu$  toplamlarin hepsini iceren ideal. 

Ilk olarak $\mathcal F$ kumesini tanimladik ama bu kume bos mu, degil mi? Teoremin kabullerinden biri $I \ne R$, yani $IR=I \ne R$, ayrica dogal olarak $R \subset R$ de saglanir. Kisacasi $R \in \mathcal F$ ve dolayisiyla $\mathcal F \ne \emptyset$.

$\mathcal H \subset \mathcal F$ tumuyle (totally) sirali bir kume olsun ve $T :=\cup\{S \: | \: S \in \mathcal H\}$ kumesini tanimlayalim. Amacimiz $T \in \mathcal F$ oldugunu gostermek:

1) $\mathcal F$'nin tanimindan dolayi her $S \in \mathcal H \subset \mathcal F$ icin $R \subset S$ olur, yani dolayisiyla $R \subset T$ olur.
2) Peki $T$ kumesi $F$ cisminin bir alt halkasi mi?
$a,b \in T$ ise $a \in S_a$ ve $b \in S_b$ olacak sekilde $\mathcal H$ kumesinin $S_a$ ve $S_b$ elemanlari vardir.  $\mathbb H$ tumuyle sirali oldugundan $\mathcal H$ kumesinde $S_a$ ve $S_b$ kumelerini iceren bir adet $S$ elemani vardir. Demek ki $a,b \in S$ ve $S$ bir althalka oldugundan $a-b$ ve $ab$ elemanlari da $S$ halkasinda ve dolayisiyla $S$ halkasini iceren $T$ halkasinda olur. Demek ki $T$ kumesi $F$ cisminin bir alt halkasiymis.

Amac $T\in \mathcal F$  oldugunu gostermekti. Son olarak $IT \ne T$ oldugunu gostermeliyiz:
3) $IT=T$ oldugunu varsayalim. Bu durumda $1 \in T=IT$ olmali. Yani sonlu sayida $a_\nu \in I$, $s_\nu \in S$ icin $\sum a_\nu s_\nu=1$ olmali. $s_\nu$ elemanlari sonlu oldugundan bir adet $S_0 \in \mathcal H$ icin her $s_\nu \in S_0$ olur. Yani $1 \in IS_0$ olur ve bu durumda $IS_0=S_0$ olur. Fakat $\mathcal H$ kumesinin her $S$ elemani icin $IS\ne S$ saglanmaliydi. Celiski.

Tum bunlari bir hic ugruna olmasa da, Zorn Onsavini kullanmak icin gosterdik. Zorn Onsavina gore $\mathcal F$ kumesinin (en az) bir adet maksimal elemani var. Yani, $F$ cisminin icerisinde $R \subset \mathcal O \subset F$, $I \mathcal O \ne \mathcal O$ sartlarinin saglayan bir maksimal halka $\mathcal O$ var. 

Su anki amacimiz $\mathcal O$ halkasinin $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasi oldugunu gostermek: 

$I \ne \{0\}$ ve $I\mathcal O \ne \mathcal O$ oldugundan (biraz bakinca gorebilecegimiz) $\mathcal O \subsetneq F$ ve $I \subset \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ saglanir.

$\mathcal O$ halkasinin $F/K$ fonksiyon cisminin deger halkasi olmadigini varsayalim. Bu durumda oyle bir $z \in F$ olmali ki $z \not \in \mathcal O$ ve $z^{-1} \not \in \mathcal O$ olmali.

$\mathcal O$ halkasinin $R$ halkasini iceren ve $I\mathcal O \ne \mathcal O$ sartini saglayan maksimal halka oldugunu kabul etmistik. Bu durumda $\mathcal O$ halkasini oz olarak iceren $O[z]$ halkasi haliyle $R$ halkasini da icereceginden maksimallik ozelliginden dolayi $I\mathcal O[z]=\mathcal O[z]$ olmali ve ayni sekilde $I\mathcal O[z^{-1}]=\mathcal O[z^{-1}]$ olmali. 

Demek ki oyle $a_0,\cdots,a_n,b_0,\cdots \in I\mathcal O$ elemanlari var ki $$1=a_0+a_1z+\cdots+a_nz^n$$ ve $$1=b_0+b_1z^{-1}+\cdots+b_mz^{-m}$$ esitlikleri saglanir.

($I$ birim icermediginden) $m,n \geq 1$ oldugu asikar. Alttan sinir koydugumuza gore artik $m$ ve $n$'yi minimal olacak sekilde secebiliriz. Ayrica $m \leq n$ oldugunu var sayabiliriz. ($m \geq n$ ise $z$ yerine $z^{-1}$ elemanini dusunebiliriz, degil mi?)

Simdi yukaridaki esitlikleri sirasiyla $1-b_0$ ve $a_nz^n$ ile carpalim: $$(1-b_0)=(1-b_0)a_0+(1-b_0)a_1z+\cdots+(1-b_0)a_nz^n$$ ve $$0=(b_0-1)a_nz^n+a_nb_1z^{n-1}+\cdots+a_nb_mz^{n-m}$$ esitlikleri saglanir. Bu iki esitligi toplarsak eger $c_0,c_1,\cdots,c_{n-1}$ olacak sekilde  $$1=c_0+c_1z+\cdots+c_{n-1}z^{n-1}$$ esitligini elde ederiz. Bu da $n$ sayisinin minimalligi ile celisir.

Demek ki $\mathcal O$ halkasi $F/K$ fonksiyon cisminin bir deger halkasiymis. Yukari da $I \subset \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ cikarimini yapmistik. $\mathcal O$  deger halkasinin maksimal idealine $P$ dersek $P= \mathcal O \backslash \mathcal O^\times$ oldugundan $I \subset P$ olur.


Simdi de cikarimimizi ispatlayalim:

$R=K[z]$ halkasini ve bu halkanin $I=zK[z]$  idealini dusunelim. Theorem 1.19'dan bir adet $P \in \mathbb P_F$ var ki $z \in P$ olur ve dolayisiyla da $P$ de $z$ elemaninin sifiri olur.

Ayni sekilde $R=K[z^{-1}]$ halkasini ve bu halkanin $I=z^{-1}K[z^{-1}]$  idealini dusunelim. Theorem 1.19'dan bir adet $P \in \mathbb P_F$ var ki $z^{-1} \in P$ olur ve dolayisiyla da $P$ de $z$ elemaninin kutubu olur. $\mathbb P_F = \emptyset$ olsaydi boyle elemanlar olmazdi, degil mi?