$F/K$ fonksiyon cisminin sabitlerinden olusan $\tilde K$ cismi $K$ cisminin sonlu genislemesidir.

Question

Tanim 1.1.14: $P \in \mathbb P_F$ olsun. (Tanimi icin bir onceki soruya bakalirsiniz).
(a) $F_P:=\mathcal O/P$ kumesi $P$ yerleskesinin artik kalan cismidir. (residue class field). $F$ cisminden $F_p \cup \{\infty\}$ kumesine olan $x \to x(P)$ fonksiyonu $P$ yerleskesine karsilik gelen artik sinif fonksiyonu olarak adlandirilir. Bazen $x \in \mathcal O_P$ icin $x+(P):=x(P)$ notasyonu kullanilir.
(b)$P$ yerleskesinin derecesi $\deg P :=[F_P:K]$ olarak adlandirilir. Eger bir yerleskenin derecesi $1$ ise bu yerleskeye $F/K$ fonksiyon cisminin rasyonel yerleskesi denir. (rational place).

Gosteriniz: 

Onerme 1.1.15: $P$ kumesi $F/K$ fonksiyon cisminin bir yerleskesi ve $0 \ne x \in P$ ise $$\deg P \leq [F:K(x)] <\infty.$$

Cikarim 1.1.16: (Daha sonra gosterecegimiz $\mathbb P_F \ne \emptyset$ onermesini kabul ederek) $F/K$ fonksiyon cisminin sabitlerini iceren $\tilde K$ cismi $K$ cisminin sonlu bir genislemesidir.

Comments

Onceki sorular icin: link.

Answer 1

ilk olarak $[F: K(x)] \leq \infty$ oldugunu ispatlamistik. (link). Geriye $\deg P \leq [F: K(x)]$ oldugunu ispatlamak kaliyor.

Yukarida verdigimiz tanimdan dolayi $\deg P := [F_P:K] := [\mathcal O_P/P : K]$ oldugunu hatirlayalim. 

Amacimiz eger $K$ uzerinde $\mathcal O_P/P$ cisminin $n$ adet lineer bagimsiz elemani varsa buna karsilik gelen $K(x)$ uzerinde $F$ cisminin $n$ adet lineer bagimsiz elemanin oldugunu gostermek. Bunu yontemi daha onceden kullanmistik ve bu yontem icin bazi kisitlamalar yapmistik. 


Linkteki ispattan metni aynen aliyorum: (Bunu birazdan kullanacagiz, daha $\varphi_i(x)$'leri tanimlamadik)

Simdi burda biraz duralim ve isimizi kolaylastiralim. 

1) Bu $\varphi_i(x)$ elemanlari $K(x)$ cisminin elemanlari. Bunlari $\frac{s_i(x)}{t_i(x)}$ olacak sekilde $K[x]$ polinom halkasindaki elemanlarin bolumu seklinde yazabiliriz. 
2) Simdi yukaridaki esitligi paydadaki elemanlarin en kucuk ortak boleniyle (boyle bir kavram $K[x]$ polinom halkasinda var mi? en kucuk ortak bolen? evet, var. Olmasa da hepsinin carpimini alirdik. Aklima yatmadi diyenler paydalarin carpimini alabilir.) carparsak. Elimizde $K[x]$'in elemanlari olur. 
3) Hatta dahasi $x$ pantezine alaraktan (karsi taraf nasil olsa sifir) $\varphi_i(x)$ elemanlarimizi su sekilde secebiliriz: $\varphi_i(x) \in K[x]$ ve $a_i := \varphi_i(0)$ elemanlarinin hepsi ayni anda sifir olamaz.


Ispatimiza baslayalim:

$z_1, \cdots,z_n \in \mathcal O_P$ olmak uzere $z_1(P), \cdots,z_n(P) \in \mathcal O_P/P$ elemanlari $K$ uzerinde lineer bagimsiz olsun. Diyelim (/Kabul edelim) ki $z_1,\cdots,z_n \in F$ elemanlarin  $K(x)$ cismini uzerinde bariz olmayan (yani tum $i$'ler icen $\varphi_i(x)=0$ olmayan) bir linner kombinasyonu olsun, yani $$\sum\limits_{i=1}^{n} \varphi_i(x)z_i=0$$ olsun, $\varphi_i(x) \in K(x)$ olmak uzere. Yukarida bahsetmis oldugumuz kisitlamalardan dolayi $\varphi_i(x)$ elemanlarini $K[x]$ halkasinin elemanlari olarak gorebiliriz, hatta bunlarin hepsinin $x$ polinomuna (!) bolumunden kalanin sifir olmadigini kabul edebiliriz. Bu durumda $K(x) \subset \mathcal O$ oldugu bilgisiyle (bu fonksiyon cisimlerinin ilk ozelliklerinden, daha once de bahsetmistik) yukaridaki lineer kombinasyona soruda tanimini vermis oldugumuz artik kalan fonksiyonunu uygulayabiliriz, yani  $$0(P)=\sum\limits_{i=1}^{n} \varphi_i(x)(P)z_i(P)=\sum\limits_{i=1}^{n} a_iz_i(P).$$  Ilk basaki kabulumuzden $z_i(P)$ elemanlari $K$ uzerinde lineer bagimsizdi, yani tum $a_i$'ler sifir olmali. Bu da celiski verir. Cunku tum $a_i$'lerin sifir olmayacagi sekilde secmistik $\varphi_i(x)$ elemanlarini. Bu da bize $z_1,\cdots,z_n \in F$ elemanlarinin $K(x)$ uzerinde lineer bagimsiz oldugunu, dolayisiyla da $\deg P \leq [F: K(x)]$ oldugunu verir.

______

Simdi $\mathbb P_F \ne \emptyset$ oldugunu varsayalim. O zaman bir adet $P \in \mathbb P_F$ yerleskesini secelim.  $\tilde K$ cismini $\mathcal O_P/P$ cisminin icerisine $\mathcal O_P\to\mathcal O_P/P$ artik kalan fonksiyonu ile gomebiliriz. ($\tilde K \cap P = \{0\}$ oldugunu hatirlayalim, hatta bu gommeyi bir onceki soruda gostermistik). Bu nedenle $$[\tilde K :K] \leq [F_P : K] < \infty$$ esitsizligi bize $\tilde K$ cisminin $K$ cisminin  sonlu bir genislemesi oldugunu verir.