Zeta fonksiyonunun Euler çarpımı biçiminde yazımı.

0 beğenilme 0 beğenilmeme
97 kez görüntülendi
$n$'inci asalı $p_n$ ile gösterelim. Her $s>1$ için

$$

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-p_n^{-s}}

$$

eşitlinin doğru olduğunu ispatlayın. Bunun tamsayaların tek türlü asal çarpanlarına ayrılmasıyla olan ilişkisi nedir?
29, Ocak, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,384 puan) tarafından  soruldu
29, Ocak, 2015 anesin tarafından düzenlendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^2s} + \frac{1}{p^3s} + \cdots $.

 

Bu esitligi gozonunde bulunduralim ve sonsuz carpimi formel olarak yapalim. Her carpandan bir adet eleman alacagiz ve carpacagiz. Sonlu tane carpan haricinde geri kalanlardan 1'i alalim. Boyle olusturacagimiz her bir terim bir $n$ tamsayisi icin $\frac{1}{n^s}$ biciminde olacaktir.

Boylece sonuc

$\sum_{n=1}\frac{a_n}{n^s}$

olur. Burada $a_n$, $n$ sayisinin kac bicimde asallarin kuvvetlerinin carpimi olarak yazilabileceginin sayisi. Asal carpanlara ayirma tek oldugundan her $n$ icin $a_n = 1$.
1, Şubat, 2015 E. Mehmet Kıral (253 puan) tarafından  cevaplandı
...