Zeta fonksiyonunun Euler çarpımı biçiminde yazımı.

Question

$n$'inci asalı $p_n$ ile gösterelim. Her $s>1$ için

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-p_n^{-s}}$$

eşitlinin doğru olduğunu ispatlayın. Bunun tamsayaların tek türlü asal çarpanlarına ayrılmasıyla olan ilişkisi nedir?

Answer 1

$\frac{1}{1-p^{-s}} = 1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^2s} + \frac{1}{p^3s} + \cdots$.

 

Bu esitligi gozonunde bulunduralim ve sonsuz carpimi formel olarak yapalim. Her carpandan bir adet eleman alacagiz ve carpacagiz. Sonlu tane carpan haricinde geri kalanlardan 1'i alalim. Boyle olusturacagimiz her bir terim bir $n$ tamsayisi icin $\frac{1}{n^s}$ biciminde olacaktir.

Boylece sonuc

$\sum_{n=1}\frac{a_n}{n^s}$

olur. Burada $a_n$, $n$ sayisinin kac bicimde asallarin kuvvetlerinin carpimi olarak yazilabileceginin sayisi. Asal carpanlara ayirma tek oldugundan her $n$ icin $a_n = 1$.