Pisagor teoreminden $|BC|=8$ cm bulunur. İç açıortay teoreminden $|BF|=3$ ve $|FC|=5$ olur. $|AD|=x$ dersek $|DC|=10-x$ olur. $$6^2-x^2=|BD|^2=8^2-(10-x)^2$$
$$\Rightarrow$$
$$|AD|=x=\frac{18}{5} \text{ ve } |CD|=10-x=\frac{32}{5}$$ bulunur. $$|BD|^2=|AD|\cdot|DC|$$
$$\Rightarrow$$
$$|BD|=\frac{24}{5} \text{ cm}$$
Geri kalan kısmını sana bırakıyorum. $ABD$ üçgeninde iç açıortay teoremini kullan.