PBA eşkenar üçgen, x noktası üçgenin dışında bir nokta. PX sekiz, BX üç ve AX beş birim ise Eşkenar üçgenin bir kenarı?

0 beğenilme 0 beğenilmeme
87 kez görüntülendi
PBA eşkenar üçgen, x noktası üçgenin dışında bir nokta. PX sekiz, BX üç ve AX beş birim. Eşkenar üçgenin bir kenarı?
28, Mayıs, 28 Lisans Matematik kategorisinde Asch (11 puan) tarafından  soruldu

Sen bu soruda ne düşündün/denedin Asch?

kosinüs teoreminden ilerlemeye çalıştım lâkin değişken sayısı fazla olduğundan kafam karıştı. Sonra P noktasına göre PBX üçgenini 60 derece döndürdüğümde A noktası ile X noktası arasında doğrusallık olduğunu fark ettim buradan ilerleyebiliyorum ama pek doğru yapıyormuşum gibi hissettirmedi.

$BXA$ üçgenin in eşi olan $BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeninin iç bölgesinde oluşturursanız  $P, X', X$ noktaları doğrusal olmalı. 

$BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeni içinde kalacak şekilde çizebileceğimizi ve sonrasında $P,X',X$ noktalarının doğrusal olduğunu kanıtlamak gerekmez mi?

2 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$PAB$ bir kenar uzunluğu $a$ birim olan bir eşkenar üçgen olsun. $X$ 'de üçgenin dışında bir nokta olsun.  $|PX|=8,\quad|PB|=3,\quad |PA|=5$ birim olsunlar. Ayrıca biz de $m(PXB)=\alpha,\quad  m(PXA)=\theta$ olarak kabul edelim. Üçgen eşitsizlikleri kullanılarak;

$PBX$' te $5<a<11$

$PAX$'te  $3<a<13$  ve 

$ABX$'te  $2<a<8$ oldukları görünür. O halde bulunması istenen $a$ değerinin  $5<a<8$ olması gerektiği  ve $25<a^2<64$ olduğu açıktır.

Kosinüs teoremi kullanılarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$PBX$ üçgeninden:  $ a^2=64+9-48cos\alpha\Rightarrow  cos\alpha=\frac{73-a^2}{48}.........(1)$ 

$PAX$ üçgeninden:  $ a^2=64+25-80cos\theta\Rightarrow  cos\theta=\frac{89-a^2}{80}.........(2)$ 

$ABX$ üçgeninden:  $ a^2=25+9-30cos(\alpha+\theta)\Rightarrow  cos(\alpha+\theta)=\frac{34-a^2}{30}..(3)$ 

Öteyanda $cos(\alpha+\theta)=cos\alpha cos\theta-sin\alpha sin\theta$ dır. Eğer $(1),(2),(3)$ deki değerler yerlerine yazılırsa

$\frac{34-a^2}{30}=\frac{89-a^2}{80}.\frac{73-a^2}{48}-\sqrt{1-(\frac{89-a^2}{80})^2}.\sqrt{1-(\frac{73-a^2}{48})^2}$ gibi $a$ 'ya bağlı bir eşitlik elde edilir. Uzun ve dikkat isteyen düzenleme işlemlerinden sonra $17a^4-1186a^2+6497=0$  denklemi elde edilir.  Buradan da $a^2=\frac{593\pm 60\sqrt{67}}{17}$  bulunur.

Ara işareti pozitif iken $a^2$63,7718,  ve ara işareti neğatif iken $a^2$ yaklaşık 5,9928 dir. Uygun olan $a$ değeri bulunur artık. 

8, Eylül, 8 Mehmet Toktaş (18,857 puan) tarafından  cevaplandı
0 beğenilme 0 beğenilmeme

$BXA$ üçgenin in eşi olan $BX'P$ üçgenini $PBA$ üçgeninin iç bölgesinde oluşturursanız  $P, X', X$ noktaları doğrusal olmalı diye yorum yapmıştım. Dediğim yapılırsa $AX'X$ üçgeninde X' açısının 180 derece olması gerektiği görülür. Yani bu üçgen dejenere olarak AX doğrusuna dönüşür. Aradığımız yanıt 7 olmalı bu durumda. 

19, Eylül, 19 alpercay (1,718 puan) tarafından  cevaplandı
...