$ABC$ üçgeninin iç merkezi $I$ olsun. $P$ ise bu üçgenin içinde \[ \angle PBA + \angle PCA = \angle PBC + \angle PCB \] eşitliğini sağlayan bir nokta. $|AP|\ge |AI|$ olduğunu ve eşitliğin tam olarak $P=I$ iken gerçekleştiğini kanıtlayın.

1 beğenilme 0 beğenilmeme
212 kez görüntülendi
$\angle PBA$, $P, B, C$ noktalarının oluşturduğu açıyı; $|AP|$ ise $AP$ doğru parçasının uzunluğunu temsil etmektedir.
25, Ocak, 2015 Orta Öğretim Matematik kategorisinde Salih Durhan (1,254 puan) tarafından  soruldu
15, Aralık, 2016 alpercay tarafından yeniden kategorilendirildi

4 Cevaplar

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Çözüm yollarından birisi:

27, Ocak, 2015 temelgokce (940 puan) tarafından  cevaplandı
$AD$ aciortayi neden $BC$'ye dik? Genel bir ucgen icin bu yanlis, cozum ikizkenar ucgen icin dogru gibi duruyor.
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Hocam ben açıların çapraz olarak toplamlarının eş olduğunu anlamışım.

Ondan dolayı üçgeni ikizkenar bulmuşum.

Uyarınız için teşekkür ederim. Genel çözüme ulaşmaya çalışayım...

28, Ocak, 2015 temelgokce (940 puan) tarafından  cevaplandı
1 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen ozelligi saglayan herhangi bir $P$ noktasi icin

$$\angle ABC + \angle ACB = \angle PBA + \angle PBC + \angle PCA + \angle PCB $$ $$\implies \angle PCB + \angle PBA = \frac{\angle ABC + \angle ACB}{2}$$

esitligi saglanir. $PBC$ ucgeninde icacilarin toplami $\pi$ olacagindan, 

$$ \angle BPC = \pi - \angle PCB - \angle PBC = \frac{2\pi - \angle ABC - \angle ACB}{2} = \frac{\pi + \angle BAC}{2}$$

esitligini elde ederiz. Dolayisiyla soruda verilen ozelligi saglayan $P$ noktalari, $BC$ kenarini hep $\frac{\pi+\angle BAC}{2}$ acisi altinda goren noktalardir, ve bu noktalar $BC$ dogru parcasini kiris kabul eden bir yaydir. Yayin cemberinin merkezi $O$, $BC$nin ortadikmesi uzerinde ve $\angle CBO = \frac{\angle CAB}{2}$ olacak sekilde $BC$'nin $A$nin olmayan tarafindadir. 

$AO$ dogrusunun $I$dan gectiginin ispati yukaridaki sekildeki gibi: $AOB$ ve $AOB'$ ucgenleri denktir cunku kurulum geregi

$\angle ABB' = \frac{\angle BAC + \pi}{2} - \angle BAC = \frac{\pi - \angle BAC}{2} = \pi - \frac{\pi + \angle BAC}{2} = \angle AB'B$   

Dolayisiyla turkuaz cember uzerindeki her nokta istegimiz ozelligi saglar. Ustune ustluk $AO$ $I$ noktasindan gectigi icin, $A$ merkezli $AI$ yaricapli cember, tukuaz cembere tegettir ve $|AP| \geq |AI|$ esitsizligi esitlik sadece ve sadece $P=I$ oldugu durumda saglanir.

28, Ocak, 2015 YusufGoren (74 puan) tarafından  cevaplandı
28, Ocak, 2015 YusufGoren tarafından düzenlendi
1 beğenilme 0 beğenilmeme

İlk çözümümdeki mantık genel çözüme kolaylıkla uyarlanabiliyor.

29, Ocak, 2015 temelgokce (940 puan) tarafından  cevaplandı
29, Ocak, 2015 temelgokce tarafından düzenlendi
...