$\mathbb{C}$ ve $\mathbb{R}$'nin özel alt cisimleri

Question

1) $\mathbb{C}$ cisminin öyle bir öz (proper) alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{C}$ ile eşyapılı (isomorphic) olsun?

2) $\mathbb{R}$ cisminin öyle bir öz alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{R}$ ile eşyapılı olsun?

Comments

En azından ilk adımda şunu söyleyebilirim. Bu iki soru birbirine denk.

---

Bi an birin ikiyi gerektirdiği konusunda kuşkuya düştüm.

---

Kuşkuya düşmek normal çünkü zaten gerektirmemesi lazım :)

Answer 1

Birinci soru için belirli bir karakteristikteki cebirsel kapalı cisimlerin teorisinin sayılamaz kategorik olmasını kullanabiliriz. Soruya uygulayacağımız özel durum için teoremi tekrar yazalım: Karakteristiği 0 olan ve kardinalitesi $2^{\aleph_0}$ olan cebirsel kapalı cisimler birbiriyle eşyapısaldır.

Yani $\mathbb{C}$'nin cebirsel kapalı ve aynı kardinalitede bir altcismini bulmamız yeterli. $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde $\mathbb{C}$ için bir "transcendence basis" olsun. $S$'den bir $\gamma$ elemanı seçelim ve $S'=S-\{\gamma\}$ olsun. $\mathbb{Q}(S')$'nin cebirsel kapanışına $K$ diyelim. $K$ cismi $\mathbb{C}$ olamaz çünkü bu durumda $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel bağımlı olurdu. Öte yandan $K$ cismi $\mathbb{C}$ ile aynı kardinalitede ve cebirsel kapalı olduğu için $\mathbb{C}$'ye eşyapısaldır.

İkinci soru için de gerçel sayılardan gerçel sayılara her benzer yapı dönüşümünün (homomorphism) rasyonel sayıları koruduğunu ve birim dönüşüm olmak zorunda kaldığını gösterebilirsiniz. Yani böyle bir öz alt cisim olamaz.