$\mathbb{C}$ ve $\mathbb{R}$'nin özel alt cisimleri

2 beğenilme 0 beğenilmeme
96 kez görüntülendi

1) $\mathbb{C}$ cisminin öyle bir öz (proper) alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{C}$ ile eşyapılı (isomorphic) olsun?

2) $\mathbb{R}$ cisminin öyle bir öz alt cismi var mıdır ki, bu alt cisim $\mathbb{R}$ ile eşyapılı olsun?


2, Ekim, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Enis (1,075 puan) tarafından  soruldu

En azından ilk adımda şunu söyleyebilirim. Bu iki soru birbirine denk.

Bi an birin ikiyi gerektirdiği konusunda kuşkuya düştüm.

Kuşkuya düşmek normal çünkü zaten gerektirmemesi lazım :)

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Birinci soru için belirli bir karakteristikteki cebirsel kapalı cisimlerin teorisinin sayılamaz kategorik olmasını kullanabiliriz. Soruya uygulayacağımız özel durum için teoremi tekrar yazalım: Karakteristiği 0 olan ve kardinalitesi $2^{\aleph_0}$ olan cebirsel kapalı cisimler birbiriyle eşyapısaldır.

Yani $\mathbb{C}$'nin cebirsel kapalı ve aynı kardinalitede bir altcismini bulmamız yeterli. $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde $\mathbb{C}$ için bir "transcendence basis" olsun. $S$'den bir $\gamma$ elemanı seçelim ve $S'=S-\{\gamma\}$ olsun. $\mathbb{Q}(S')$'nin cebirsel kapanışına $K$ diyelim. $K$ cismi $\mathbb{C}$ olamaz çünkü bu durumda $S$ kümesi $\mathbb{Q}$ üzerinde cebirsel bağımlı olurdu. Öte yandan $K$ cismi $\mathbb{C}$ ile aynı kardinalitede ve cebirsel kapalı olduğu için $\mathbb{C}$'ye eşyapısaldır.

İkinci soru için de gerçel sayılardan gerçel sayılara her benzer yapı dönüşümünün (homomorphism) rasyonel sayıları koruduğunu ve birim dönüşüm olmak zorunda kaldığını gösterebilirsiniz. Yani böyle bir öz alt cisim olamaz.

2, Ekim, 2015 Burak (1,249 puan) tarafından  cevaplandı
3, Ekim, 2015 Burak tarafından düzenlendi
...