Parabol

Question

$a,b,c$ tek sayılar olsun. $x=y^2$ parabolünün $ax+by+c=0$ doğrusu ile rasyonel koordinatlara sahip bir noktada kesişemeyeceklerini gösteriniz.

Answer 1

$ay^2+by+c=a(y+\frac{b}{2a})^2+(\frac{4ac-b^2}{4a})=0$ ise $y=-\frac{b}{a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. 

Bu sayilardan biri rasyonel olsun. (olmazsa zaten aradigiiz bu!). Bu durumda yukarisi tek olur. Fakat asagida $2$ var ve $\pm\sqrt y=x$. Yani Kok aldigimizda bir $\sqrt 2$ carpani olur. Bu da irrasyonelligi getirir.

Biraz daha acik yazilabilir bu.