parabol ile doğrunun kesişimi durumu

Question

Bir parabol ile doğru iki noktada kesiştiği zaman bu iki nokta arasında oluşan doğru parçasının koordinatlarını bulmakla ilgili bir soru geldiğinde ben o soruları çözebiliyorum ama ezbere bir şekilde mantığını bilmeden. Mesela

$f(x) = x^2 - 3x + k$ parabolü ile $y=5x-2$ doğrusu $A$ ve $B$ noktalarında kesişiyorlar, $[AB]$'nin orta noktasının koordinatlarını bulunuz şeklinde bir soru çözdüm az önce

kesiştikleri için birbirlerine eşitledim $x^2 - 3x + k = 5x - 2$

                                                     $= x^2 - 8x + k + 2 = 0$

buraya kadar mantıklı neden böyle yaptığımı anlıyorum sonrasında apsisini bulmak için bulduğumuz denklemde parabolün tepe noktasının apsisini bulma formülünü uyguluyoruz ve buluyoruz, ama bunu neden AB'nin apsisi kabul ediyoruz anlamıyorum tepe noktasından geçmiyorsa?

neyse apsisi buluyoruz sonra ordinatı bulmak için yerine yazmamız gerekiyor ama bu sefer bulduğumuz denklemde değil direkt doğrunun denkleminde yerine yazıyoru bunu niye yaptığımızı da anlamıyorum madem tepe noktasından geçiyor gibi düşünüyoruz neden apsisini bulduğumuz yerde değil de doğru denkleminde yazıyoruz yani?

bilale anlatır gibi anlatabilirseniz sevinirim çünkü kafam çok karışık...

Answer 1

Sevgili Bilal, (bu son istegin icin)

ilk olarak kesisim noktalarini bir nebze bulmamiz gerekli. Tam olarak bu iki noktayi aslinda bulamayacagiz. Fakat bu iki noktanin $x$-kordinantlari toplamini bulacagiz. 

Kesisim noktalarimiz $x$-kordinantlari $x_1$ ve $x_2$ olsun. Bunlarin toplami $$x_1+x_2$$ olur. Peki orta noktanin $x$-kordinanti ne olur?: $$\frac{x_1+x_2}{2}.$$

Dogru uzerinde $x$-koordinantina karsilik gelen $y$-koordinanti nedir? $$5x-2.$$ Dolayisi ile istenen nokta $$\left(\frac{x_1+x_2}{2},5\cdot\frac{x_1+x_2}{2}-2\right)$$ olur. (Bu son sorunun cevabi).

Geriye tek kalan $$x_1+x_2$$  degerini bulmak. Bunu da denklemleri esitleyerek yapiyoruz. $$(x,x^2-3x+k)\;\;\; \text{ ve } \;\;\;(t,5t-2)$$ noktalarinin ayni olmasi icin $$x=t \;\;\;\text{ ve }\;\;\; x^2-3x+k=5t-2$$ olmasi gerekir. $x=t$ esitligini ikinci denklemde kullanirsak (ki sen bunu yapmissin) $$x^2-3x+k=5x-2$$ yani $$x^2-8x+(k+2)=0$$ olur. Bu denklemin iki koku olmali ki iki kesisim noktasi olsun. Bunlar da bizim $x_1$ ve $x_2$ dediklerimiz... $$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$$ oldugundan biliyoruz ki $$x_1+x_2=8$$ olmali. (Bu da neden orta noktasinin alinabilecegi kismi hakkindaki sorunun cevabi cunku bunu parabol olarak dusunup $(x-4)^2+\text{ bir sabit sayi}$ olarak yazabiliyoruz. Bence buraya kadar gitmeye gerek yok, goruldugu uzere). Dolayisiyla bu da orta noktanin $$\left(\frac{8}{2},5\cdot \frac82-2\right)=(4,18)$$ oldugunu verir. 

Comments

tam olarak oturdu kafama çok teşekkürler :)

Answer 2

Cunku ortak çözüm parabolünü kesen ve x eksenine paralel olan dogrular ile parabolun kesim noktalari  $x=r $ (ortak çözüm parabolü için) dogrusuna gore simetriktir. Zaten bu dogru ortak çözüm parabolünün simetri eksenidir. Bu yuzden başlangıçta verilen parabolun $AB $ kirisinin orta noktasi ortak çözüm parabolünün simetri ekseni üzerindedir.Yani $AB$  kirişinin $x$ ekseni üzerindeki iz düşümü olan  $A'$   ve  $B'$   noktalarının orta noktası $AB$  kirişinin orta noktasının apsisini oluşturur.

Comments

Tabii eğer doğru x-eksenine paralel ise... Fark almak da paralelliği getiriyor.

---

Evet çok kötü ifade etmişim. Demek istediğim ortak çözümden gelen parabolün simetri ekseni $AB$  kirişinin orta noktasından geçer. Düzelteyim. Teşekkür ederim Sercan.

---

teşekkür ederim

---

Biz tesekkur ederiz. Kolay gelsin.