$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$ sinyalinin $\mathcal{Z}$ dönüşümünü bulun - Matematik Kafası

$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$ sinyalinin $\mathcal{Z}$ dönüşümünü bulun

0 beğenilme 0 beğenilmeme
40 kez görüntülendi

$u[n]$ basamak fonksiyonu olmak üzere :

$$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$$

Sinyalinin $\mathcal{Z}$ dönüşümünü bulun.

7, Eylül, 2015 Lisans Matematik kategorisinde bertan88 (1,114 puan) tarafından  soruldu

Neden bu fonksiyonun? ve $\Omega_0$ nedir?

"Neden bu fonksiyonun ?" sorusunu anlayamadım.

$\Omega_0$ , sabit bir sayı.

Siyal için özelliği olan bir fonksiyon mu?

Herhangi bir özelliğinin olmaması lazım.Bütün fonksiyonları sinyal olarak tanımlayabiliriz.Sinyalin tanımı için buraya bakılabilir.

Buraya da bakilabilir.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sinyalimiz ve $\mathcal{Z}$ dönüşümünün tanımı :

$$x[n]=\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]$$

$$X(n)=\mathcal{Z}\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^\infty\,x[n]\,z^{-n}$$

Bizden istenen :

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=-\infty}^\infty\,\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\,z^{-n}$$

Basamak fonksiyonunun özelliğini kullanarak sadeleştirelim.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=0}^\infty\,\alpha^n\cos(\Omega_0n)\,z^{-n}$$

Kosinüsü açalım.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\sum_{n=0}^\infty\,\alpha^n\frac{e^{i\Omega_0n}+e^{-i\Omega_0n}}{2}\,z^{-n}$$

Sadeleştirelim.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:} \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty\,\Bigg[  \bigg(\alpha\,e^{i\Omega_0n}z^{-1}\bigg)^n+\bigg(\alpha\,e^{-i\Omega_0n}z^{-1}\bigg)^n\Bigg]$$

Buradan seriyi kolayca hesaplayabiliriz.

$$\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\frac{1}{2}\Bigg[   \frac{1}{1-\alpha\,e^{i\Omega_0}\,z^{-1}}+\frac{1}{1-\alpha\,e^{-i\Omega_0}\,z^{-1}}\Bigg] $$

$$\large\color{#A00000}{\boxed{\alpha^n\cos(\Omega_0n)u[n]\xrightarrow{\:\:\:\:\:\:\:\:\mathcal{Z}\:\:\:\:\:\:\:\:}\frac{1-\alpha\cos(\Omega_0)\,z^{-1}}{1-2\alpha\,\cos(\Omega_0)\,z^{-1}+\alpha^2\,z^{-2}}\:\:\:,\:\:\:|z|>|\alpha|}}$$

8, Eylül, 2015 bertan88 (1,114 puan) tarafından  cevaplandı
...