Question

$S^{2} \subset\mathbb{R}^{3}$ birim küresi olmak üzere $f(x,y,z)=(x^{2}-y^{2},xy,yz,zx)$ ile tanımlanan $f:S^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4}$ sürekli dönüşümünün $\tilde{f}: \mathbb{R}P^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{4}$ sürekli dönüşümünü indirgeyeceğini ispatlayınız.

Answer 1

$\mathbb{R}P^2=\frac{\mathbb{S}^2}{\sim},\quad ((x,y,z)\sim (-x,-y,-z))$ olduğundan $f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)$ sağlanıyorsa istenen $\tilde{f}$ tanımlanır. $\tilde{f}$ nin sürekli olduğunu göstermek için, $\mathbb{R}P^2$ üzerinde (yukarıdaki özdeşleştirme ile tanımlanan) bölüm topolojisi var olduğunu kullanmak gerekir. Bölüm topolojisinin tanımından da ($f$ sürekli olduğu için) $\tilde{f}$ nin da sürekli olduğu kolayca görülecektir.