$Q_{\Bbb{R}}=\{(a_1,a_2,a_3,a_4)\mid a_{i}\in \Bbb{R}, i=1,2,3,4\}$ reel kuaterniyonlar halkası için;

Question

$Q_{\Bbb{R}}$ üzerinde çarpma işlemi

$(a_1,a_2,a_3,a_4)(b_1,b_2,b_3,b_4)=(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4,a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3,a_1b_3+a_3b_1+a_4b_2-a_2b_4,a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)$

ile veriliyor. Bu işlem doğal olarak mı ortaya çıkmaktadır? 

Comments

Verilen denklem bende sayfayi asiyor. Biraz duzenlemek mumkun mu?

Answer 1

Baslamadan: $\mathbb{R} \to Q$ fonksiyonunu $a \mapsto (a, 0 ,0 ,0)$ olarak tanimladigimizda, bunun imgesi $Q$'nun merkezinde olan bir halka morfizmasi oldugunu gormek zor degil. Bir baska deyisle, $Q$'yu bir $\mathbb{R}$-cebiri olarak dusunebiliriz.

(1) $Q$ bir halka oldugu icin dagilma ozelligine sahip. Bir $(a_1, a_2, a_3, a_4)$ dortlusunu de $$(a_1, 0 , 0 ,0) + (0, a_2, 0 , 0) + (0, 0, a_3, 0) + (0, 0, 0, a_4)$$ seklinde yazabilecegimizi goz onunde bulundurursak islemimizin dogal oldugunu kontrol etmek icin $$(0, a_2, 0 ,0)(0, 0, b_3, 0)$$ seklindeki carpmalara (sadece bir girisi sifirdan farkli olan elemanlarin carpimi) bakmak yeterli.

(2) $Q$ ayni zamanda bir $\mathbb{R}$-cebiri oldugu icin, ya da ayni zamanda bir reel vektor uzayi oldugu icin, tek bakmamiz gereken sifir olmayan $a_i$'lerin ve $b_j$'lerin $1$ oldugu durum. Ornegin, $$(1, 0, 0, 0) (0,0,1,0) = (0, 0, 1, 0)$$ ya da $$(0, 1, 0, 0)(0, 1 ,0 ,0 )= (-1, 0, 0, 0)$$ ya da $$(0,1,0,0)(0,0,1,0) = (0,0,0,1)$$

(3) Bunu elimizle denemeye kalktigimizda $4 \times 4$'luk bir carpim tablosu geliyor, ve 16 tane $(0,1,0,0)$'e benzeyen terim. Bunun yerine soyle yapalim:

En bastaki halka morfizmasi birebir bir homomorfizma, imgesini de $(a, 0 , 0, 0)$ seklindeki elemanlar olusturuyor. Yani, $a \leftrightarrow (a, 0 , 0, 0)$ seklinde bir esleme yapmamizda bir sikinti yok. Hatta, bu eslemeyi boyle degil de $1 \leftrightarrow (1, 0 , 0, 0)$ olarak yazalim. Diger vektorlerimize de $i, j ,k$ isimlerini verelim: $$1 \leftrightarrow (1, 0 ,0, 0) \\ i \leftrightarrow (0,1 ,0, 0) \\ j \leftrightarrow (0, 0, 1, 0) \\ k \leftrightarrow (0, 0, 0, 1)$$ Su halde, artik $(a, b, c, d)$ dortlusunu $a.1 + bi + cj +dk$ ile eslestirmis olduk. Yukaridaki $4 \times 4$'luk carpim tablosu da artik okumasi kolay bir tablo oldu: $$1.1 = 1 \qquad 1.i = i \qquad 1.j = j \qquad 1.k=k \\ i.1 = i \qquad i.i = -1 \qquad i.j = k \qquad i.k = -j \\ j.1 = j \qquad j.i = - k \qquad j.j = -1 \qquad j.k = i \\ k.1 = k \qquad k.i = j \qquad k.j = -i \qquad k.k = -1$$

(4) Bu carpma dogal mi? Lisede sayisal secmis arkadaslar fizik sinavlarinda garip garip el hareketleri yaparken biz disaridan bakip guluyorduk. Sag el kurali diyorlardi. Ayni duzlemdeki iki vektoru "carptigimizda" yukari dogru gosteriyordu ($ij = k$) ama ayni seyi sol elle yapmaya kalksak asagi gosteriyordu ($ji = -k$). Yukaridaki paragraftan hareketle, reel kismi sifir olan iki Burada caktirmadan $i, j$ ve $k$'yi $\mathbb{R}^3$'te dusunduk. 

Yukaridaki paragraftan hareketle, reel kismi sifir olan iki kuaterniyon alalim: $q_1 = a_1 i + b_1 j + c_1 k$ ve $q_2 = a_2 i + b_2 j + c_2 k$. Ve bu iki kuaterniyonu carpalim:

$$q_1 q_2 = -a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 + (b_1 c_2 - c_1 b_2) i + (c_1a_2 - a_1 c_2)j + (a_1 b_2 - b_1 a_2)k$$

Ote yandan, bu iki kuaterniyonun da reel kisimlari sifir oldugu icin ilk koordinati tamamen yoksayip bunlari $\mathbb{R}^3$'te $v_1 = (a_1, b_1, c_1)$ ve $v_2 = (a_2, b_2, c_2)$ seklinde dusunebilirim. Elimde iki vektor varsa bunlarin ic carpimina (dot product) ve capraz carpimina (cross product) bakabilirim. Biraz cabayla, ic carpimin $q_1q_2$'nin reel kisminin negatifine, ve capraz carpimin da reel olmayan kisma esit oldugunu gorebiliriz.

Bence bu, bize oldukca bir dogal carpim oldugunu soyluyor. 

Comments

Açıklamanız oldukça güzel ve yeterli. Çok teşekkür ediyorum Özgür bey. Çarpımı ezberlemeye gerek kalmıyor.