$\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ grubunun otomorfizmaları doğal olarak $\mathbb{Z}_2$ üzerine vektör uzayı yapısına göre lineer dönüşümler. O halde bu grup aynı zamanda $GL_2(\mathbb{Z}_2)$ demek. Bu grubun eleman sayısı farklı baz sayısı kadar, yani $6$. Kolay bir şekilde bu grubun değişmeli olmadığı görülebilir. O halde $S_3$ aradığımız grupmuş.