Markov Zinciri

2 beğenilme 0 beğenilmeme
139 kez görüntülendi

Markov zinciri bu soruda verilen tanimdan azicik daha genel. Ama azicik daha genel. Bizim tanim Diaconis abinin islerini anlamak icin yeterli ama. Kendisini gecen IMDB'ye getirmislerdi. Sihirbaz bir abi. Ha bi de Stanford'ta profesor. Laubaliligi birakip baslayalim.

Bir markov zinciri tanimlamak icin gereken girdiler sunlardir:

  1. Sonlu bir $(X,\nu)$ olasilik olcumu (dagilimi);
  2. Bu sonlu kume uzerinde tanimli bir $P$ rassal (stokastik) matris;
  3. Ikinci bir sonlu $(Y,\mu)$ olcum uzayi (Ilk yoruma bakiniz);
  4. Sonlu bir $\xi_0,\cdots,\xi_n:Y\longrightarrow X$ rassal degiskenler dizisi.
Eger yukaridaki dortlu asagidaki iki sarti saglarsa, bu data bir Markov zinciridir denir:
  1. Her $x\in X$ icin $$\mu_{\xi_0}(x):=\mu\{\xi_0=x\}=\nu(x)$$
  2. $k=0,1,\cdots,n-1$ olurken $\mu\{\xi_0=x_0,\cdots,\xi_k=x_k\}>0$ sartini saglayan her $x_1,\cdots,x_n\in X$ dizi icin $$\mu\{\xi_{k+1}=x_{k+1}|\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{k}=x_{k}\}=p(x_k,x_{k+1}).$$
Bu durumda $X$'e durum uzayi, $\nu$'ye baslangic dagilimi, $P$'ye gecis matrisi denir. 

$(X,\nu)$, $P$, $(Y,\mu)$ ve $\xi_0,\cdots,\xi_n$ yukaridaki gibi olsun. 
Birinci soru. Eger bu dortlu Markov zinciri tanimliyorsa su sart saglanir: Her $x_0,\cdots,x_n\in X$ icin $$\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1},\xi_{n}=x_{n}\}=\nu(x_0)p(x_0,x_1)\cdots p(x_{n-1},x_n).$$
Gerek olmayan ipucu: Rassal degiskenler ve Bayes dizisel formulu'nu kullanin. Yeterliligi gostermek icin de $P$ matrisinin rassal oldugunu kullanmak gerek. Belki biraz daha acmak gerek. Asagidaki ikinci soruya bakiniz.
Ikinci soru. Simdi de birinci sorunun tersini gosterin. Yani diyelim ki her $x_0,\cdots,x_n\in X$ icin $$\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1},\xi_{n}=x_{n}\}=\nu(x_0)p(x_0,x_1)\cdots p(x_{n-1},x_n).$$ olsun.
a)  $$\bigcup_{x_n\in X}\Big(\bigcap_{i=0}^n \xi_i^{-1}(x_i)\Big)=\bigcap_{i=0}^{n-1} \xi_i^{-1}(x_i)$$ esitligini ispatlayin. 
b) Bir onceki sikta birlesimin icine giren kesisimlerin $x_n$ degistikce ayrik kaldiklarini akilda tutarak (neden?) esitligin her iki tarafina da $\mu$ uygulayip $$\sum_{x_n\in X}\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{n}=x_n\}=\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}$$esitiligini, buradan da $$\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{n-1}=x_{n-1}\}=\nu(x_0)p(x_0,x_1)\cdots p(x_{n-2},x_{n-1})$$esitligini elde edin. Bu son esitligi elde etmek icin ikinci sorunun basinda kabul ettigimiz hipotezi ve $P$ matrisinin her bir satiri boyunca girdilerinin toplaminin $1$ oldugunu kullanin.
c) Son sikta elde edilen esitligi daha da ileri goturun. Yani $k=0,1,\cdots,n$ icin $$\mu\{\xi_{0}=x_{0},\cdots,\xi_{k}=x_k\}=\nu(x_0)p(x_0,x_1)\cdots p(x_{k-1},x_{k})$$esitliginin saglandigini gosterin.
d) Surayi kullanarak oldurucu darbeyi vurun ve ikinci sorunun basindaki sart saglaniyorsa aldigimiz dortlunun bir Markov zinciri tanimladigini gosterin.

23, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,379 puan) tarafından  soruldu
23, Ağustos, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi

Ucuncu sikta sozu gecen olcum uzayini gonul rahatligiyla soyle alabilirsiniz. $Y$ sonlu bir kume, $\mu$ de $Y$'nin altkumelerinden pozitif reel sayilara giden bir fonksiyon ve $A,B\subseteq Y$ ve $A\cap B=\emptyset$ ise $$\mu(A\cup B)=\mu(A)+\mu(B)$$esitligi saglaniyor.

Şu geçiş matrisine Markov matrisi dendiği de oluyor mu? Vikipediye göre evet oluyormus...

Valla terminoloji hakkinda genis bir bilgim yok, ne desem yalan olur.


Bu arada soruyu biraz genislettim. Ya da cozumu kolaylastirdim desem daha dogru olur.

...