İşlemcilerin karekökleri nasıl tanımlanır?

Question

Teorem: $\mathcal{H}$ bir Hilbert uzayı olsun. $A\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ ve $A\geq 0$. O zaman $B\geq0$ ve $B^2=A$ şartlarını sağlayan biricik bir $B\in\mathcal{L}(\mathcal{H})$ vardır.

Bu teorem (gösterebilirmisiniz?) üzerinden $\mathcal{L}(\mathcal{H})$'nin bir altkümesinde olan işlemcilerin karekökünü $A^{1/2}$ tanımlayabiliyoruz. Daha başka durumlarda işlemcilerin karekökleri nasıl tanımlanır?

Comments

Sonlu boyutlu Hilbert uzaylari icin yapmaya calistim kanitimi pek basarili olmadi.

$A \leq 0$ demek, $A$ nin simetrik pozitif olmasi demek. $A$ simetrik oldugu icin matriksinin ozdeger dekompozisyonu yapabiliriz.

$A = U \Lambda U^{T}$

$A$ pozitif definit oldugu icin $A$ nin butun ozdegerleri $\Lambda_{i,i}$ 0 a buyuk esittir.

$B = U \sqrt{\Lambda_{i,i}} U^{T}$  secebiliriz boylece hem $B\leq 0$ (cunku \sqrt{|lambda_{i,i}} \leq 0) hem de $A=B*B$ saglanmis olur ama biricikligi nasil gosterecegimi goremedim.