Lagrange çarpanı genel olarak bir f:A⊂Rn→R göndermesinin uç noktalarını -g:A⊂Rn→R,→x↦g(→x) olmak üzere- bir g(→x)=0 (*) yan şartı gözetilerek bulmaya yarar.
Temelinin geometriye dayandığını şöyle görebiliriz:
A=R2 olsun.
1- Eğer bir yan şart verilmemişse, f(x,y)'nin uç noktalarını; herhangi bir x0 noktasından başlayıp hep f'nin eğiminin en fazla olduğu yönde -yani →∇f yönünde- ta ki ‖ oluncaya dek ilerleyerek bulabiliriz (,bu son nokta bir uç nokta, ayrıca şekile bkz.).
2- Eğer bir g(x,y)=0 yan şartı verilmişse, f(x,y)'nin uç noktalarına 1'dekine ek olarak sadece g=0 çizgisi doğrultusunda ya da ona paralel gitmek şartıyla ulaşabiliriz. Bu da \vec{\nabla}g'ye dik istikamette gitmek demektir, çünkü her s\in\mathbb{R} için \forall x_1\in \{(x,y)\in\mathbb{R}: g(x,y)=s\} :\vec{x}_1:=x_1x_0\perp\vec{\nabla}g[x,y] 'dir. \vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_{\perp}f+\vec{\nabla}_{\parallel}f \vec{\nabla}g'ye dik ve paralel diye ayırırsak, bir uç nokta \vec{\nabla}_{\perp}f=0 olduğunda bulunmuş olur. Ama o halde \vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_\parallel f \rightarrow \vec{\nabla}f\parallel\vec{\nabla}g\rightarrow\vec{\nabla}f=\lambda\vec{\nabla}g , \lambda\in\mathbb{R}(**) (=Lagrange çarpanı) olur.
Tanım (Lagrange çarpanı yöntemi):F:\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},(\vec{x},\lambda)\mapsto F(\vec{x},\lambda):=f(\vec{x})-\lambda g(\vec{x}) göndermesini tanımlayalım. f için g(\vec{x})=0 yan şartlı uç noktalarında
\vec{\nabla}F(\vec{x},\lambda)=\vec{0} (\equiv(*)) ve \frac{\partial}{\partial \lambda}F(\vec{x},\lambda)=0(\equiv(**)) denklemlerinin sağlaması gerekir (...yöntem bunları çözmekten ibaret).