Lagrange çarpanı genel olarak bir f:A⊂Rn→R göndermesinin uç noktalarını -g:A⊂Rn→R,→x↦g(→x) olmak üzere- bir g(→x)=0 (*) yan şartı gözetilerek bulmaya yarar.
Temelinin geometriye dayandığını şöyle görebiliriz:
A=R2 olsun.
1- Eğer bir yan şart verilmemişse, f(x,y)'nin uç noktalarını; herhangi bir x0 noktasından başlayıp hep f'nin eğiminin en fazla olduğu yönde -yani →∇f yönünde- ta ki ‖→∇f‖=0 oluncaya dek ilerleyerek bulabiliriz (,bu son nokta bir uç nokta, ayrıca şekile bkz.).
2- Eğer bir g(x,y)=0 yan şartı verilmişse, f(x,y)'nin uç noktalarına 1'dekine ek olarak sadece g=0 çizgisi doğrultusunda ya da ona paralel gitmek şartıyla ulaşabiliriz. Bu da →∇g'ye dik istikamette gitmek demektir, çünkü her s∈R için ∀x1∈{(x,y)∈R:g(x,y)=s}:→x1:=x1x0⊥→∇g[x,y]'dir. →∇f=→∇⊥f+→∇∥f →∇g'ye dik ve paralel diye ayırırsak, bir uç nokta →∇⊥f=0 olduğunda bulunmuş olur. Ama o halde →∇f=→∇∥f→→∇f∥→∇g→→∇f=λ→∇g,λ∈R(**) (=Lagrange çarpanı) olur.
Tanım (Lagrange çarpanı yöntemi):F:Rn×R→R,(→x,λ)↦F(→x,λ):=f(→x)−λg(→x) göndermesini tanımlayalım. f için g(→x)=0 yan şartlı uç noktalarında
→∇F(→x,λ)=→0 (≡(*)) ve ∂∂λF(→x,λ)=0(≡(**)) denklemlerinin sağlaması gerekir (...yöntem bunları çözmekten ibaret).