Lagrange çarpanı nedir? Ne işe yarar?

4 beğenilme 0 beğenilmeme
272 kez görüntülendi
Altında yatan fikir nedir?
5, Ağustos, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,226 puan) tarafından  soruldu

çok değişkenli fonksiyonların yan şartlı ekstremum problemlerinde kullanıldığını biiyorum, fonksiyonların gradient vektörlerinin doğrultularının aynı olmasıyla ilgili olduğu üzerine açıklamalar mevcut ama altında yatan temel mantığı anlatan cevabı merakla bekliyorum..

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Lagrange çarpanı genel olarak bir $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ göndermesinin uç noktalarını   -$g:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\vec{x}\mapsto g(\vec{x})$ olmak üzere- bir $g(\vec{x})=0$ (*) yan şartı gözetilerek bulmaya yarar.

Temelinin geometriye dayandığını şöyle görebiliriz:
$A=\mathbb{R}^{2}$ olsun.

1- Eğer bir yan şart verilmemişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarını; herhangi bir $x_\text{0}$ noktasından başlayıp hep $f$'nin eğiminin en fazla olduğu yönde -yani $\vec{\nabla}f$ yönünde- ta ki $\Vert \vec{\nabla}f\Vert=0$ oluncaya dek ilerleyerek  bulabiliriz (,bu son nokta bir uç nokta, ayrıca şekile bkz.).

2- Eğer bir $g(x,y)=0$ yan şartı verilmişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarına  1'dekine ek olarak sadece $g=0$ çizgisi doğrultusunda ya da ona paralel gitmek şartıyla ulaşabiliriz.   Bu da $\vec{\nabla}g$'ye dik istikamette gitmek demektir, çünkü her $s\in\mathbb{R}$ için $\forall x_1\in \{(x,y)\in\mathbb{R}: g(x,y)=s\} :\vec{x}_1:=x_1x_0\perp\vec{\nabla}g[x,y] $'dir. $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_{\perp}f+\vec{\nabla}_{\parallel}f$  $\vec{\nabla}g$'ye dik ve paralel diye ayırırsak, bir uç nokta $\vec{\nabla}_{\perp}f=0$ olduğunda bulunmuş olur. Ama o halde $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_\parallel f \rightarrow \vec{\nabla}f\parallel\vec{\nabla}g\rightarrow\vec{\nabla}f=\lambda\vec{\nabla}g , \lambda\in\mathbb{R}$(**)  (=Lagrange çarpanı) olur.

image

Tanım (Lagrange çarpanı yöntemi):$F:\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},(\vec{x},\lambda)\mapsto F(\vec{x},\lambda):=f(\vec{x})-\lambda g(\vec{x})$ göndermesini tanımlayalım. $f$ için $g(\vec{x})=0$ yan şartlı uç noktalarında
$\vec{\nabla}F(\vec{x},\lambda)=\vec{0}$ ($\equiv$(*)) ve $\frac{\partial}{\partial \lambda}F(\vec{x},\lambda)=0$($\equiv$(**)) denklemlerinin sağlaması gerekir (...yöntem bunları çözmekten ibaret).

18, Ekim, 2015 fiziksever (1,138 puan) tarafından  cevaplandı
30, Kasım, 2016 Safak Ozden tarafından seçilmiş
...