$\mathbb Z[i]$ halkasinin birim elemanlari

Question

Gosteriniz: $\mathbb Z[i]$ halkasinin birim elemanlarinin kumesi $\{\pm1,\pm i\}$ kumesidir.

Answer 1

$\Bbb{Z}[i]$ halkası kompleks Sayılar cisminin bir althalkası ve dolayısıyla bir tamlık bölgesidir. $a+bi\in \Bbb{Z}[i]$ de tersinir eleman ise $(a+bi)(c+di)=1$ olacak şekilde $c+di\in \Bbb{Z}[i]$ vardır. Her iki Tarafın eşleniğini aldığımızda ve taraf tarafa çarptığımızda $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=1$ ve buradan $a=0, b=1,-1$ yada $a=1,-1,b=0$ elde edilir. Yani halkanın tersinir elemanları yalnızca $1,-1 ,i,-i$ şeklindedir.