$\mathbb Z[i]$ halkasi Oklit bolgesidir.

Question

Gosteriniz: $\mathbb Z[i]$ halkasi Oklit bolgesidir. (Euclidean domain)

Answer 1

$d:\Bbb{Z}[i]-\{0\}\rightarrow \Bbb{Z}^{+}$ fonksiyonunu $d(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ ile tanımlayalım.

1) Her $0\neq a+bi\in \Bbb{Z}[i]$ için $d(a+bi)\in \Bbb{Z}^{+}$ şeklindedir.

2) Her $a+bi,c+di\in \Bbb{Z}[i]$ için $d((a+bi)(c+di))\geq d(a+bi)$ midir?

$$d((a+bi)(c+di))=d((ac-bd)+(ad+bc)i)\\=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2\\ =(a^2+b^2)c^2+(a^2+b^2)d^2\\=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\geq (a^2+b^2)=d(a+bi)$$

3) $a+bi, c+di\in \Bbb{Z}[i]-\{0\}$ için $a+bi=(q_{0}+q_{1}i)(c+di)+(r_{0}+r_{1}i)$

$q_{0}+q_{1}i,~ r_{0}+r_{1}i\in \Bbb{Z}[i]$ ve $r_{0}+r_{1}i=0$ veya $d(r_{0}+r_{1}i)\lt d(c+di)$ olacak şekilde elemanlar mevcut mudur?

$r_{0}+r_{1}i=(a+bi)-(c+di)(q_{0}+q_{1}i)=(c+di)[(a+bi)(c+di)^{-1}-(q_{0}+q_{1}i)$ ve $(a+bi)(c+di)^{-1}=u+vi$, $u,v\in \Bbb{Q}$.

$r_{0}+r_{1}i=(c+di)[(u+vi)-(q_{0}+q_{1}i)]=(c+di)[(u-q_{0})+(v-q_{1})i]=[c(u-q_{0})-d(v-q_{1})]+[c(v-q_{1})+d(u-q_{0})]i$.

$d(r_{0}+r_{1}i)=(c^2+d^2)[(u-q_{0})^2+(v-q_{1})^2]$ elde edilir. Eğer $(u-q_{0})^2+(v-q_{1})^2\lt 1$ ise
$d(r_{0}+r_{1}i)\lt d(c+di)$ olur. $(u-q_{0})^2\leq \frac{1}{4}$ ve $(v-q_{1})^2\leq \frac{1}{4}$ olacak şekilde $q_{0}, q_{1}$ seçtiğimizde $(u-q_{0})^2+(v-q_{1})^2\lt 1$. Yani; $a+bi=(c+di)(q_{0}+q_{1}i)+(r_{0}+r_{1}i)$ ve $r_{0}+r_{1}i=0$ veya $d(r_{0}+r_{1}i)\lt d(c+di)$ şeklindedir.

Sonuç; $\Bbb{Z}[i]$ halkası Öklid bölgesidir.