${\int\:x^a\:\gamma(s,x)\,dx}$ integralini çözün

Question

${\gamma(s,x)}$ tamamlanmamış gama fonksiyonu (alt) olmak üzere :

$${\large\int\:x^a\:\gamma(s,x)\,dx}$$

İntegralini çözün.

Answer 1

İntegralimiz :

$$\int\:x^a\:\gamma(s,x)\,dx$$

$\gamma(s,x)=u$ ve $x^a=dv$ olacak şekilde kısmi integral alalım.

$$\frac{x^{a+1}}{a+1}\gamma(s,x)-\frac{1}{a+1}\int\:x^{a+s}\:e^{-x}dx$$

Sadeleştirelim.

$$\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\gamma(s,x)-\int\:x^{a+s}\:e^{-x}\,dx\bigg]$$

Tamamlanmamış gama fonksiyonu için aşağıdakiler yazılabilir.

$$\gamma(s,x)=\int_0^x\:x^{s-1}\:e^{-x}dx$$

$$\frac{\partial}{\partial\:x}\gamma(s,x)=x^{s-1}\:e^{-x}$$

Bunu integrali bulmak için kullanalım.

$$\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\gamma(s,x)-\int\:\underbrace{x^{a+s}\:e^{-x}}_{\large\frac{\partial}{\partial\:x}\gamma(s+a+1,x)}\,dx\bigg]$$

Artık integrali kolaylıkla bulabiliriz.

$$\large\color{red}{\boxed{\int\:x^a\:\gamma(s,x)\,dx=\frac{1}{a+1}\bigg[x^{a+1}\gamma(s,x)-\gamma(s+a+1,x)\bigg]}}$$