${\int x^n\:e^{-x^k}dx=-k^{-1}\Gamma\big(\frac{n+1}{k},x^k\big)}$ eşitliğini ispatlayın

Question

${\Gamma(s,x)}$ tamamlanmamış gama fonksiyonu olmak üzere :

$${\large\int x^n\:e^{-x^k}dx=-k^{-1}\Gamma\bigg(\frac{n+1}{k},x^k\bigg)}$$

Eşitliğini ispatlayın.

Answer 1

İntegralimiz :

$${\int x^n e^{-x^k}dx}$$

${x^k=\omega}$ olacak şekilde değişken değiştirelim.

$${k^{-1}\int\omega^{\frac{n+1}{k}-1}e^{-\omega}\:d\omega}$$

Tamamlanmamış gama fonksiyonu için aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

$${\Gamma(s,x)=\int_x^\infty t^{s-1}\:e^{-t}\:dt}$$

$${\frac{\partial}{\partial\,x}\Gamma(s,x)=-x^{s-1}\:e^{-x}}$$

İntegralin iç kısmı için bu eşitlikleri kullanabiliriz.

$${k^{-1}\int\underbrace{\omega^{\frac{n+1}{k}-1}e^{-\omega}}_{\Large-\frac{\partial}{\partial\,\omega}\Gamma\big(\frac{n+1}{k},\omega\big)}d\omega}$$

Artık integrali kolayca bulabiliriz.

$${-k^{-1}\Gamma\bigg(\frac{n+1}{k},\omega\bigg)}$$

Başta değiştirdiğimiz değişkeni tekrar yazalım.

$${\color{red}{\large\boxed{\int x^n e^{-x^k}dx=-k^{-1}\Gamma\bigg(\frac{n+1}{k},x^k\bigg)}}}$$

Comments

Bu cevap neden en iyi? ve digerleri?

---

Başka cevap yok.Daha iyi bir cevap gelene kadar en iyi cevap bu :)

---

Hadi bakalim :) En iyi, en kotu vs bir cok ozelligi barindiran bir cevap, tabi baska cevap gelene kadar..