Değişmeli bir halkanın yapı balyasına (structure sheaf) dair

0 beğenilme 0 beğenilmeme
83 kez görüntülendi

$R$ değişimeli ve birim elemanlı bir halka $\mathfrak{p}\subseteq R$ asal bir ideal olsun. $$\lim_{\substack{\longrightarrow \\ f\in A-\mathfrak{p}}}A_f\simeq A_{\mathfrak{p}}$$ olduğunu gösterin.

21, Şubat, 2015 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,393 puan) tarafından  soruldu

Sheaf'e Türkçe karşılık olarak cebirsel geometriciler balya kelimesini kullanıyorlarmış. Bir ara demet diye kullandığım yanıtları da değiştirmek gerek.

Ben bu ileri limiti kesisim olarak aliyorum genelde (aslinda hep,gercek tanimini bilmiyorum, kesisim gibi davraniyorum). O zaman da $A_f$'lerin kesisimi $A_p$ deyip benim icin ic rahatlatma ispati bitmis oluyor. 

ileri limit kesişim değil, birleşim olarak düşünülebilir. Kümelerdeki birleşmenin evrensel özelliğini sağlıyor çünkü.

Birlesim geri limit degil miydi .s (burdaki "notation 4.1" witt)

$A=\{x\}$, $B=\{y,z\}$, $C=\{u,v\}$ olsun ve $A$'dan $B$'ye giden fonksiyon olarak, $x$'i $y$ ile eşleştiren, $A$'dan $C$'ye giden fonksiyon olarak da $x$'i $u$ ile eşleştiren fonksiyonu al. Bu durumda elinde bir doğrudan sistem var ve $B$ ile $C$'nin birleşiminde $y$ ile $u$'yu yapıştırmışsın. Yani doğrudan limit birleşim al diyor ve aradaki fonksiyonlar da birleşim aldıktan sonra neyle neyi yapıştıracağını söylüyor.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$A_\mathfrak{p}$'nin birazdan tanimlayacigimiz $(\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemi sayesinde soldaki dogrudan limitin evrensel ozelligini sagladigini gosterelim:

Oncelikle $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin $A_f$'deki kesirleri $A_\mathfrak{p}$'deki ayni pay ve paydaya sahip kesirlere goturerek (veya "$f$'nin $A_\mathfrak{p}$'de tersinir oldugunu" gorup $A_f$'nin evrensel ozelligini kullanarak) bir $\alpha_f : A_f \to A_\mathfrak{p}$ morfizmasi elde ederiz. Ayrica farkli $f$'ler icin bu morfizmalar birbirleriyle uyumludur.

Simdi $B$ bir (degismeli ve birimli) halka, $(\phi_f : A_f \to B)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ de dogrudan sistemle uyumlu bir morfizma sistemi olsun. $\phi := \phi_1 : A \cong A_1 \to B$'ye bakalim. $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin $\gamma_{f,1}: A \cong A_1 \to A_f$ dogrudan sistemdeki morfizma olsun olsun. O zaman, biraz notasyon suistimali yaparak, \[1 = \phi_f(1) = \phi_f\left(f \cdot \frac{1}{f}\right) = \phi_f(\gamma_{f,1}(f)) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) = \phi(f) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right)\] oldugunu goruruz, yani $\phi(f)$, $B$'de tersinirdir. Bu esitlik her $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin gecerli oldugundan bu bize $A_\mathfrak{p}$'nin evrensel ozelligi sayesinde $\phi = \phi' \circ \alpha_1$ olacak bicimde bir (ve bir tek) $\phi': A_\mathfrak{p} \to B$ morfizmasi verir. Ayrica bu durumda $f \in A \setminus \mathfrak{p}$ icin gercekten de $\phi_f = \phi' \circ \alpha_f$ olur, cunku hem $\phi_f$ hem de $\phi' \circ \alpha_f$, "$f$'yi $B$'de tersinir yapan" $\phi_1$ morfizmasini $\gamma_{f,1}$'den gecerek $A_f$'ye tasiyan morfizmalardir ve $A_f$'nin evrensel ozelligi yuzunden bu kosulu saglayan tek bir morfizma vardir. Sonuc olarak gercekten de bu tur bir $(\phi_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemini $(\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}}$ sistemi uzerinden carpanlara ayirtan bir ve bir tek $\phi': A_\mathfrak{p} \to B$ morfizmasi vardir.

"Birlesim" meselesine gelince, bu dogrudan limiti tum $A_f$'lerin birlesimi olarak dusunmek her zaman dogru olmasa da cok da kotu bir benzetme degil. Nitekim eger $A$ bir tamlik bolgesiyse sozu gecen tum yerellestirmeleri $A$'nin kesirler cisminin althalkalari olarak gorebiliriz ve bu durumda gercekten de $A_\mathfrak{p} = \cup_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} A_f$ olur.

22, Şubat, 2015 eyilmaz (60 puan) tarafından  cevaplandı
...