A_\mathfrak{p}'nin birazdan tanimlayacigimiz (\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemi sayesinde soldaki dogrudan limitin evrensel ozelligini sagladigini gosterelim:
Oncelikle f \in A \setminus \mathfrak{p} icin A_f'deki kesirleri A_\mathfrak{p}'deki ayni pay ve paydaya sahip kesirlere goturerek (veya "f'nin A_\mathfrak{p}'de tersinir oldugunu" gorup A_f'nin evrensel ozelligini kullanarak) bir \alpha_f : A_f \to A_\mathfrak{p} morfizmasi elde ederiz. Ayrica farkli f'ler icin bu morfizmalar birbirleriyle uyumludur.
Simdi B bir (degismeli ve birimli) halka, (\phi_f : A_f \to B)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} de dogrudan sistemle uyumlu bir morfizma sistemi olsun. \phi := \phi_1 : A \cong A_1 \to B'ye bakalim. f \in A \setminus \mathfrak{p} icin \gamma_{f,1}: A \cong A_1 \to A_f dogrudan sistemdeki morfizma olsun olsun. O zaman, biraz notasyon suistimali yaparak, 1 = \phi_f(1) = \phi_f\left(f \cdot \frac{1}{f}\right) = \phi_f(\gamma_{f,1}(f)) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) = \phi(f) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) oldugunu goruruz, yani \phi(f), B'de tersinirdir. Bu esitlik her f \in A \setminus \mathfrak{p} icin gecerli oldugundan bu bize A_\mathfrak{p}'nin evrensel ozelligi sayesinde \phi = \phi' \circ \alpha_1 olacak bicimde bir (ve bir tek) \phi': A_\mathfrak{p} \to B morfizmasi verir. Ayrica bu durumda f \in A \setminus \mathfrak{p} icin gercekten de \phi_f = \phi' \circ \alpha_f olur, cunku hem \phi_f hem de \phi' \circ \alpha_f, "f'yi B'de tersinir yapan" \phi_1 morfizmasini \gamma_{f,1}'den gecerek A_f'ye tasiyan morfizmalardir ve A_f'nin evrensel ozelligi yuzunden bu kosulu saglayan tek bir morfizma vardir. Sonuc olarak gercekten de bu tur bir (\phi_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemini (\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemi uzerinden carpanlara ayirtan bir ve bir tek \phi': A_\mathfrak{p} \to B morfizmasi vardir.
"Birlesim" meselesine gelince, bu dogrudan limiti tum A_f'lerin birlesimi olarak dusunmek her zaman dogru olmasa da cok da kotu bir benzetme degil. Nitekim eger A bir tamlik bolgesiyse sozu gecen tum yerellestirmeleri A'nin kesirler cisminin althalkalari olarak gorebiliriz ve bu durumda gercekten de A_\mathfrak{p} = \cup_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} A_f olur.