Processing math: 3%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
851 kez görüntülendi

R değişimeli ve birim elemanlı bir halka pR asal bir ideal olsun. lim olduğunu gösterin.

Akademik Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 851 kez görüntülendi

Sheaf'e Türkçe karşılık olarak cebirsel geometriciler balya kelimesini kullanıyorlarmış. Bir ara demet diye kullandığım yanıtları da değiştirmek gerek.

Ben bu ileri limiti kesisim olarak aliyorum genelde (aslinda hep,gercek tanimini bilmiyorum, kesisim gibi davraniyorum). O zaman da A_f'lerin kesisimi A_p deyip benim icin ic rahatlatma ispati bitmis oluyor. 

ileri limit kesişim değil, birleşim olarak düşünülebilir. Kümelerdeki birleşmenin evrensel özelliğini sağlıyor çünkü.

Birlesim geri limit degil miydi .s (burdaki "notation 4.1" witt)

A=\{x\}, B=\{y,z\}, C=\{u,v\} olsun ve A'dan B'ye giden fonksiyon olarak, x'i y ile eşleştiren, A'dan C'ye giden fonksiyon olarak da x'i u ile eşleştiren fonksiyonu al. Bu durumda elinde bir doğrudan sistem var ve B ile C'nin birleşiminde y ile u'yu yapıştırmışsın. Yani doğrudan limit birleşim al diyor ve aradaki fonksiyonlar da birleşim aldıktan sonra neyle neyi yapıştıracağını söylüyor.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

A_\mathfrak{p}'nin birazdan tanimlayacigimiz (\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemi sayesinde soldaki dogrudan limitin evrensel ozelligini sagladigini gosterelim:

Oncelikle f \in A \setminus \mathfrak{p} icin A_f'deki kesirleri A_\mathfrak{p}'deki ayni pay ve paydaya sahip kesirlere goturerek (veya "f'nin A_\mathfrak{p}'de tersinir oldugunu" gorup A_f'nin evrensel ozelligini kullanarak) bir \alpha_f : A_f \to A_\mathfrak{p} morfizmasi elde ederiz. Ayrica farkli f'ler icin bu morfizmalar birbirleriyle uyumludur.

Simdi B bir (degismeli ve birimli) halka, (\phi_f : A_f \to B)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} de dogrudan sistemle uyumlu bir morfizma sistemi olsun. \phi := \phi_1 : A \cong A_1 \to B'ye bakalim. f \in A \setminus \mathfrak{p} icin \gamma_{f,1}: A \cong A_1 \to A_f dogrudan sistemdeki morfizma olsun olsun. O zaman, biraz notasyon suistimali yaparak, 1 = \phi_f(1) = \phi_f\left(f \cdot \frac{1}{f}\right) = \phi_f(\gamma_{f,1}(f)) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) = \phi(f) \cdot \phi_f\left(\frac{1}{f}\right) oldugunu goruruz, yani \phi(f), B'de tersinirdir. Bu esitlik her f \in A \setminus \mathfrak{p} icin gecerli oldugundan bu bize A_\mathfrak{p}'nin evrensel ozelligi sayesinde \phi = \phi' \circ \alpha_1 olacak bicimde bir (ve bir tek) \phi': A_\mathfrak{p} \to B morfizmasi verir. Ayrica bu durumda f \in A \setminus \mathfrak{p} icin gercekten de \phi_f = \phi' \circ \alpha_f olur, cunku hem \phi_f hem de \phi' \circ \alpha_f, "f'yi B'de tersinir yapan" \phi_1 morfizmasini \gamma_{f,1}'den gecerek A_f'ye tasiyan morfizmalardir ve A_f'nin evrensel ozelligi yuzunden bu kosulu saglayan tek bir morfizma vardir. Sonuc olarak gercekten de bu tur bir (\phi_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemini (\alpha_f)_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} sistemi uzerinden carpanlara ayirtan bir ve bir tek \phi': A_\mathfrak{p} \to B morfizmasi vardir.

"Birlesim" meselesine gelince, bu dogrudan limiti tum A_f'lerin birlesimi olarak dusunmek her zaman dogru olmasa da cok da kotu bir benzetme degil. Nitekim eger A bir tamlik bolgesiyse sozu gecen tum yerellestirmeleri A'nin kesirler cisminin althalkalari olarak gorebiliriz ve bu durumda gercekten de A_\mathfrak{p} = \cup_{f \in A \setminus \mathfrak{p}} A_f olur.

(60 puan) tarafından 
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,902 kullanıcı