Sonlu tipte cebirlere dair bir özellik

0 beğenilme 0 beğenilmeme
64 kez görüntülendi

$K$ bir cisim, $A$ da $K$ üzerine sonlu tipte sıfır güçlü elemanı olmayan* bir cebir olsun. Yani $K$ üzerinde tanımlanmış sonlu değişkenli bir polinom halkasının görüntüsüne eşit olsun. Bariz durumlar dışında** $A$ cebirinin herhangi bir asal idealdeki yerelleştirmesinin $K$ üzerine sonlu tipte bir cebir olmadığını gösterin.


*: $rad (A)=0$ olmadığında bunun yine doğru olacağına çok inanıyorum, biraz sıksam gösteririm de sanırım. Yine de sorunun bir parçası olsun. $rad (A)=0$ şartı olmadan yukarıdaki iddia doğru mudur?

**: $A$'nın cisim olmadığı durum. 


İpucu: $Spec\, A$ içindeki kapalı kümelerin kapalı noktaları bulundukları kapalı küme içinde yoğundurlar. Sembolik biçimde anlatırsak şöyle yazmamız gerekir. Eğer $\mathfrak{a}\subset A$ bir ideal, $Spm(R)$ ile $A$'nın maksimal ideallerinin tayfını ve $\overline{\cdot}$ ile Zariski topolojisine göre kapanış operatörünü gösteriyorsak, aşağıdaki eşitlik sağlanır: $$\overline{V(\mathfrak{a})\cap Spm(A)}=V(\mathfrak{a})$$

İpucu için ipucu: Bu tipte halkalar Noether normalleştirme yardımcı teoremi sayesinde Jacobson'dur. Yani nilradikal Jacobson radikale eşittir.

29, Haziran, 29 Akademik Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,379 puan) tarafından  soruldu
29, Haziran, 29 Safak Ozden tarafından düzenlendi
...