K bir cisim, A da K üzerine sonlu tipte sıfır güçlü elemanı olmayan* bir cebir olsun. Yani K üzerinde tanımlanmış sonlu değişkenli bir polinom halkasının görüntüsüne eşit olsun. Bariz durumlar dışında** A cebirinin herhangi bir asal idealdeki yerelleştirmesinin K üzerine sonlu tipte bir cebir olmadığını gösterin.
*: rad(A)=0 olmadığında bunun yine doğru olacağına çok inanıyorum, biraz sıksam gösteririm de sanırım. Yine de sorunun bir parçası olsun. rad(A)=0 şartı olmadan yukarıdaki iddia doğru mudur?
**: A'nın cisim olmadığı durum.
İpucu: SpecA içindeki kapalı kümelerin kapalı noktaları bulundukları kapalı küme içinde yoğundurlar. Sembolik biçimde anlatırsak şöyle yazmamız gerekir. Eğer a⊂A bir ideal, Spm(R) ile A'nın maksimal ideallerinin tayfını ve ¯⋅ ile Zariski topolojisine göre kapanış operatörünü gösteriyorsak, aşağıdaki eşitlik sağlanır: ¯V(a)∩Spm(A)=V(a)
İpucu için ipucu: Bu tipte halkalar Noether normalleştirme yardımcı teoremi sayesinde Jacobson'dur. Yani nilradikal Jacobson radikale eşittir.