Ilk olarak ispatlanacak teoremi yaziyorum:
_________________________________________________________________________________
$p$ asal sayi, $f$ pozitif tamsayi ve $q=p^f$ de $p$-kuvveti olmak uzere...
Teorem: (Gross-Koblitz) $0 \leq a < q-1$ icin $$-\sum\limits_{\epsilon^q=\epsilon \ne 0}\epsilon^{-a}\Theta_q(\epsilon)=\pi^{S_p(a)}\prod\limits_{0 \leq i < f}\Gamma_p\bigg(\frac{a^{(i)}}{q-1}\bigg)$$
oyle ki $a^{(0)} :=a$, $a^{(i)} \equiv pa^{(i-1)} \mod q-1$, $0 \leq a^{(i)} < q-1$, $S_p(a)$ sayisi $a$ sayisinin $p$-sel acilimindaki katsayilarin toplami.
$\Theta_q$ icin: Dwork usseli, site ici link.
________________________________________________________________________________
Bu sorular ortaogretim duzeyinde de olabilir:
Soru 1: $$x \rightarrow x+qa \: : \: \mathbb Z_p \rightarrow \mathbb Z_p \: \: \: \: (a \in \mathbb Z_p)$$ fonksiyonun tek sabit noktasi oldugunu gosterin. Yani sunu gosterecez: $a_* \rightarrow a_*$ sartini saglayan sadece bir adet bir adet $a_* \in\mathbb Z_p$ elemani var.
Soru 2: $0 \leq a <q$ bir tam sayi olmak uzere $a=a_0+a_1p+\cdots+a_{f-1}p^{f-1}$ sayisi ile sabitlenen $a_*$ noktasini bulun, $p$-sel acilimini bulun.
Soru 3: $a_*=a_0+pa_*'$ esitligini saglayan $a_*'$ elemanini alalim. Bu elemani sabitleyen elemana $a'$ diyelim. Bu elemanin yukrida tanimladigimiz $a^{(1)}$ oldugunu gosteriniz.
Soru 4: Ayni sekilde $a_*'=a_1+pa_*''$ esitligini saglayan $a_*''$ elemanini alalim. Bu elemani sabitleyen elemana $a''$ diyelim. Bu elemanin yukrida tanimladigimiz $a^{(2)}$ oldugunu gosteriniz. Bu islemi surdurursek yukarida tanimlanan tum $a^{(i)}$ elemanlarini elde edecegimizi gosteriniz.
Soru 5: $\{a^{(i)}\}$ kumesinin $f$ ile periodik oldugunu gosteriniz.