Güzel bir geometri düzgün çokgen sorusu

Question

 A,B,C, ve D noktaları düzgün bir çokgenin ardışık dört köşesidir. Eğer $\frac{1}{|AB|}=\frac{1}{|AC|}+\frac{1}{|AD|}$ bağıntısı sağlanıyorsa bu çokgen kaç kenarlıdır?

Comments

Bu soruyu kaç gündür çözemeye çalışıyorum, ama dişe dokunur bir çözüm bulamadım.

Sizin yorumunuz nedir?

Answer 1

Verilen $ABCD$ düzgün çokgenin çevrel çemberinin (köşelerinden geçen çemberin) merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $r$, ve$[AB]$ kirişini gören merkez açının ölçüsü $2x$ olsun. $OAB$ ikizkenar üçgen olup;  $$Sinx=\frac{|AB|/2}{|OA|} \Rightarrow |AB|=2|OA|Sinx=2rSinx$$ dir. Benzer yolla $$|AC|=2rSin2x  ,|AD|=2rSin3x$$ tir. Bu değerler soruda verilen eşitlikte kullanılırsa

$$\frac{1}{2rSinx}=\frac{1}{2rSin2x}+\frac{1}{2rSin3x}\Rightarrow \frac{1}{Sinx}=\frac{1}{Sin2x}+\frac{1}{Sin3x}...........(1)$$ denklemde payda eşitlenir ve düzenlenirse,

$$Sin2x.Sin3x-Sinx.Sin3x-SinxSin2x=0$$  olur. $$Sin2x(Sin3x-Sinx)-Sinx.Sin3x=0$$

$$Sin2x.(2Sinx.Cos2x)-Sinx.Sin3x=0$$ Buradan $$Sinx(2Sin2x.Cos2x-Sin3x)=0$$  ve $$Sinx.(Sin4x-Sin3x)=0$$ bulunur. Dönüşüm formülü yardımıyla $$Sinx.Sin(x/2)Cos(7x/2)=0..........(2)$$ dır. Bu son denklem (1) denklemine özdeş olmadığından (1)'i sağlayan her çözüm (2)'yi sağlamayabilir fakat terine (2)'nin her çözümü (1)'inde çözümüdür. $k$ bir tamsayı ve $Sinx.Sin2x.Sin3x\neq0$ olmak üzere ;

$x=\frac{k\pi}{2}$ ve $x=\frac{k\pi}{3}............(3)$ değerleri (1)'i sağlarlar. Yani (1)'in köleri (3) ile $Cos(7x/2)=0$'ın kökleridir. Demekki $x=\frac{\pi}{7}+\frac{2n\pi}{7}$ dir Burada $n\in Z$ dir. Düzgün dörtgende bir kenarı gören merkez açı en fazla $\pi/2$ olabilir. Demek ki $$0<2x\leq\pi/2$$ dir.   $$0<\frac{2\pi}{7}+\frac{4n\pi}{7}$$ de $n=0$ alınırsa biricik çözüm $$2x=\frac{2\pi}{7}$$ olduğundan düzgün çokgen "yedigendir"