Güzel bir geometri düzgün çokgen sorusu

2 beğenilme 0 beğenilmeme
486 kez görüntülendi

 A,B,C, ve D noktaları düzgün bir çokgenin ardışık dört köşesidir. Eğer $\frac{1}{|AB|}=\frac{1}{|AC|}+\frac{1}{|AD|}$ bağıntısı sağlanıyorsa bu çokgen kaç kenarlıdır?

10, Temmuz, 2015 Serbest kategorisinde Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  soruldu
Bu soruyu kaç gündür çözemeye çalışıyorum, ama dişe dokunur bir çözüm bulamadım.
Sizin yorumunuz nedir?

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Verilen $ABCD$ düzgün çokgenin çevrel çemberinin (köşelerinden geçen çemberin) merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $r$, ve$[AB]$ kirişini gören merkez açının ölçüsü $2x$ olsun. $OAB$ ikizkenar üçgen olup; $$Sinx=\frac{|AB|/2}{|OA|} \Rightarrow |AB|=2|OA|Sinx=2rSinx$$ dir. Benzer yolla $$|AC|=2rSin2x  ,|AD|=2rSin3x$$ tir. Bu değerler soruda verilen eşitlikte kullanılırsa

$$\frac{1}{2rSinx}=\frac{1}{2rSin2x}+\frac{1}{2rSin3x}\Rightarrow \frac{1}{Sinx}=\frac{1}{Sin2x}+\frac{1}{Sin3x}...........(1)$$ denklemde payda eşitlenir ve düzenlenirse,

$$Sin2x.Sin3x-Sinx.Sin3x-SinxSin2x=0$$  olur. $$Sin2x(Sin3x-Sinx)-Sinx.Sin3x=0$$

$$Sin2x.(2Sinx.Cos2x)-Sinx.Sin3x=0$$ Buradan $$Sinx(2Sin2x.Cos2x-Sin3x)=0$$ ve $$Sinx.(Sin4x-Sin3x)=0$$ bulunur. Dönüşüm formülü yardımıyla $$Sinx.Sin(x/2)Cos(7x/2)=0..........(2)$$ dır. Bu son denklem (1) denklemine özdeş olmadığından (1)'i sağlayan her çözüm (2)'yi sağlamayabilir fakat terine (2)'nin her çözümü (1)'inde çözümüdür. $k$ bir tamsayı ve $Sinx.Sin2x.Sin3x\neq0$ olmak üzere ;

$x=\frac{k\pi}{2}$ ve $x=\frac{k\pi}{3}............(3)$ değerleri (1)'i sağlarlar. Yani (1)'in köleri (3) ile $Cos(7x/2)=0$'ın kökleridir. Demekki $x=\frac{\pi}{7}+\frac{2n\pi}{7}$ dir Burada $n\in Z$ dir. Düzgün dörtgende bir kenarı gören merkez açı en fazla $\pi/2$ olabilir. Demek ki $$0<2x\leq\pi/2$$ dir.  $$0<\frac{2\pi}{7}+\frac{4n\pi}{7}$$ de $n=0$ alınırsa biricik çözüm $$2x=\frac{2\pi}{7}$$ olduğundan düzgün çokgen "yedigendir"


2, Eylül, 2015 Mehmet Toktaş (18,827 puan) tarafından  cevaplandı
...