Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
820 kez görüntülendi

Problem: A1A2A9 düzgün dokuzgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı |AA9|=2 olduğuna göre, |AA1||AA2|+|AA3||AA4| ifadesinin değeri kaçtır?

                      image 


Not: Problemin genel hali şöyledir. n tek tamsayı olmak üzere A1A2An düzgün çokgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı |AAn|=2 olduğuna göre, 

|AA1||AA2|+|AA3||AA4|+|AA(n1)/2|

ifadesinin değeri kaçtır?

Genel hali, American Mathematical Monthly'de 1897 yılında Leonard Eugen Dickson tarafından sorulmuştur. Dickson henüz 23 yaşında iken, dergide bu ve benzeri birçok eşitliği nasıl bulduğunu da açıklamıştır. Ortaöğretim seviyesine uygun olması için genel problemin n=9 durumunu soruyoruz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 820 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Verilen şekilde A noktasının düzgün çokgeninin A4A5 kenarını ve bu kenarın ayırdığı yayı ortaladığı açıktır. Ayrıca çokgenin iki ardışık köşesi arasındaki yayın 3609=40 olduğunu biliyoruz.

AA1A9,AA2A9,AA3A9,AA4A9 dik üçgenlerinden;

|AA1|=2cos20, |AA2|=2cos40, |AA3|=2cos60|AA4|=2cos80, olduğunu görebiliriz.

O zaman;

|AA1||AA2|+|AA3||AA4|=2(cos20cos40+cos60cos80)

|AA1||AA2|+|AA3||AA4|=2(cos20cos40+12cos80)

|AA1||AA2|+|AA3||AA4|=2(2sin30sin(10)+12cos80)

|AA1||AA2|+|AA3||AA4|=2(sin10+12cos80)

|AA1||AA2|+|AA3||AA4=1 olur.


(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Mathematica ile cozumu.. Gorunen o ki butun tek n'ler icin toplam 1 cikiyor..


image 

image
 

 

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,291 soru
21,832 cevap
73,524 yorum
2,659,531 kullanıcı