Düzgün Çokgen (AMM 1897)

2 beğenilme 0 beğenilmeme
117 kez görüntülendi

Problem: $A_1A_2\cdots A_9$ düzgün dokuzgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_9|=2$ olduğuna göre, $|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4|$ ifadesinin değeri kaçtır?

                      image 


Not: Problemin genel hali şöyledir. $n$ tek tamsayı olmak üzere $A_1A_2\cdots A_n$ düzgün çokgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_n|=2$ olduğuna göre, 

$$|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4| + \cdots \mp |AA_{(n-1)/2}|$$

ifadesinin değeri kaçtır?

Genel hali, American Mathematical Monthly'de 1897 yılında Leonard Eugen Dickson tarafından sorulmuştur. Dickson henüz 23 yaşında iken, dergide bu ve benzeri birçok eşitliği nasıl bulduğunu da açıklamıştır. Ortaöğretim seviyesine uygun olması için genel problemin $n=9$ durumunu soruyoruz.

5, Kasım, 2018 Orta Öğretim Matematik kategorisinde lokman gökçe (527 puan) tarafından  soruldu

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Verilen şekilde $A$ noktasının düzgün çokgeninin $A_4A_5$ kenarını ve bu kenarın ayırdığı yayı ortaladığı açıktır. Ayrıca çokgenin iki ardışık köşesi arasındaki yayın $\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$ olduğunu biliyoruz.

$AA_1A_9,AA_2A_9,AA_3A_9,AA_4A_9$ dik üçgenlerinden;

$|AA_1|=2\cos20^\circ$, $|AA_2|=2\cos40^\circ$, $|AA_3|=2\cos60^\circ$, $|AA_4|=2\cos80^\circ$, olduğunu görebiliriz.

O zaman;

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\cos60^\circ-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(-2\cdot\sin30^\circ\cdot\sin(-10^\circ)+\frac12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\sin10^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4=1$ olur.


7, Kasım, 2018 Mehmet Toktaş (18,763 puan) tarafından  cevaplandı
8, Kasım, 2018 lokman gökçe tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Mathematica ile cozumu.. Gorunen o ki butun tek n'ler icin toplam 1 cikiyor..


image 

image
 

 

7, Kasım, 2018 OkkesDulgerci (1,575 puan) tarafından  cevaplandı
7, Kasım, 2018 OkkesDulgerci tarafından düzenlendi
...