Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
612 kez görüntülendi

Problem: $A_1A_2\cdots A_9$ düzgün dokuzgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_9|=2$ olduğuna göre, $|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4|$ ifadesinin değeri kaçtır?

                      image 


Not: Problemin genel hali şöyledir. $n$ tek tamsayı olmak üzere $A_1A_2\cdots A_n$ düzgün çokgendir. Düzgün çokgenin çevrel çemberinin çapı $|AA_n|=2$ olduğuna göre, 

$$|AA_1| - |AA_2| + |AA_3| - |AA_4| + \cdots \mp |AA_{(n-1)/2}|$$

ifadesinin değeri kaçtır?

Genel hali, American Mathematical Monthly'de 1897 yılında Leonard Eugen Dickson tarafından sorulmuştur. Dickson henüz 23 yaşında iken, dergide bu ve benzeri birçok eşitliği nasıl bulduğunu da açıklamıştır. Ortaöğretim seviyesine uygun olması için genel problemin $n=9$ durumunu soruyoruz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (2.6k puan) tarafından  | 612 kez görüntülendi

2 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Verilen şekilde $A$ noktasının düzgün çokgeninin $A_4A_5$ kenarını ve bu kenarın ayırdığı yayı ortaladığı açıktır. Ayrıca çokgenin iki ardışık köşesi arasındaki yayın $\frac{360^\circ}{9}=40^\circ$ olduğunu biliyoruz.

$AA_1A_9,AA_2A_9,AA_3A_9,AA_4A_9$ dik üçgenlerinden;

$|AA_1|=2\cos20^\circ$, $|AA_2|=2\cos40^\circ$, $|AA_3|=2\cos60^\circ$, $|AA_4|=2\cos80^\circ$, olduğunu görebiliriz.

O zaman;

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\cos60^\circ-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\cos20^\circ-\cos40^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(-2\cdot\sin30^\circ\cdot\sin(-10^\circ)+\frac12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4|=2(\sin10^\circ+\frac 12-\cos80^\circ)$

$|AA_1|-|AA_2|+|AA_3|-|AA_4=1$ olur.


(19.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
0 beğenilme 0 beğenilmeme

Mathematica ile cozumu.. Gorunen o ki butun tek n'ler icin toplam 1 cikiyor..


image 

image
 

 

(2.9k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,915 kullanıcı