Processing math: 100%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
Toggle navigation
E-posta veye kullanıcı adı
Şifre
Hatırla
Giriş
Kayıt
|
Şifremi unuttum ne yapabilirim ?
Anasayfa
Sorular
Cevaplanmamış
Kategoriler
Bir Soru Sor
Hakkımızda
3
a
2
+
3
a
+
7
=
b
3
denkleminin tüm tamsayı çözümlerini bulunuz.
2
beğenilme
0
beğenilmeme
401
kez görüntülendi
3
a
2
+
3
a
+
7
=
b
3
eşitliğini sağlayan tüm
(
a
,
b
)
tamsayı
ikililerini bulunuz.
diyofant-denklemleri
26 Nisan 2024
Orta Öğretim Matematik
kategorisinde
DoganDonmez
(
6.2k
puan)
tarafından
soruldu
|
401
kez görüntülendi
cevap
yorum
Aklıma gelen ilk yöntem diskriminant oldu:
Eşitliği
a
ya göre kuadratik olarak düşünürsek tamsayı çözümler için diskriminatın tam kare yani
Δ
=
12
b
3
−
75
=
n
2
olması gerekiyor. Sol taraf 3 e bölündüğünden n=3k alırsak
4
b
3
−
25
=
3
k
2
elde ediliyor. Fakat üsttekine benzer bir denklem oluştuğundan pek işe yarar gözükmedi bana.
Başka bir yol olarak denklemi
3
a
2
+
3
a
+
6
=
b
3
−
1
olarak yazıp çarpanlara ayırma kullanılabilir.
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
Bu soruya cevap vermek için lütfen
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
1
cevap
2
beğenilme
0
beğenilmeme
(
a
,
b
∈
Z
iken)
3
(
a
2
+
a
+
2
)
=
b
3
−
1
⟹
3
∣
b
3
−
1
b
3
−
1
=
(
b
−
1
)
(
b
2
+
b
+
1
)
dir.
b
≡
0
mod
3
ise
b
−
1
≡
2
mod
3
ve
b
2
+
b
+
1
≡
1
mod
3
olur. (
3
asal sayı olduğundan)
3
∤
b
3
−
1
olur.
b
≡
2
mod
3
ise
b
−
1
≡
1
mod
3
ve
b
2
+
b
+
1
≡
1
mod
3
olur. (
3
asal sayı olduğundan)
3
∤
b
3
−
1
olur.
olur. Öyleyse
b
≡
1
mod
3
olmalıdır.
b
=
3
n
+
1
(
n
∈
Z
)
olsun.
3
a
2
+
3
a
+
7
=
27
n
3
+
27
n
2
+
9
n
+
1
olur. Sadeleşme sonunda:
a
2
+
a
+
2
=
9
n
3
+
9
n
2
+
3
n
=
3
(
3
n
2
+
3
n
+
1
)
olur.
Buradan
3
∣
a
2
+
a
+
2
elde ederiz. Ama :
a
≡
0
mod
3
⟹
a
2
+
a
+
2
≡
2
mod
3
a
≡
1
mod
3
⟹
a
2
+
a
+
2
≡
1
mod
3
a
≡
2
mod
3
⟹
a
2
+
a
+
2
≡
2
mod
3
olduğundan,
3
∣
a
2
+
a
+
2
olması imkansızdır.
Bu eşitliği sağlayan tamsayı ikilisi yoktur.
28 Nisan 2024
DoganDonmez
(
6.2k
puan)
tarafından
cevaplandı
ilgili bir soru sor
yorum
Hocam şöyle de düşünülebilir sanırım:
3
a
2
⋅
1
+
3
a
⋅
1
2
+
1
3
+
6
=
b
3
Her iki tarafa
a
3
ekleyerek
(
a
+
1
)
3
+
6
=
b
3
+
a
3
elde olunur. Sonrasında modüler aritmetik kullanmak gerekecek.
Ben önce onu denedim. Pek yararı olmuyor. Hangi mod kullanılacağı belli olmuyor.
Küp olunca modülo 9 kullanmak işe yaradı:
x
3
≡
−
1
,
0
,
1
mod
9
olduğundan eşitliğin sol tarafı modülo 9 da
5
,
6
,
7
sayılarına, diğer tarafı ise
−
1
,
0
,
1
,
2
sayılarına eşit olduğundan
(
a
+
1
)
3
+
6
=
a
3
+
b
3
eşitliğini sağlayan tamsayıların bulunmadığını söyleyebilriz.
Evet bu güzel. Mod 9 ile daha kolay oluyormuş.
Benim çözümüm de (iki kez mod 3) mod 9 ile çözüme benziyor.
Lütfen yorum eklemek için
giriş yapınız
veya
kayıt olunuz
.
İlgili sorular
x
3
=
24
y
2
denkleminin TÜM pozitif tamsayı çözümleri
x
=
6
n
2
,
y
=
3
n
3
(
n
∈
N
+
)
şeklinde midir?
x
2
+
2
y
2
+
z
2
=
x
y
z
diyofant denkleminin
1
≤
x
,
y
,
z
≤
200
aralığında kaç tane pozitif çift tamsayı çözümü vardır?
3
x
⋅
8
x
x
+
2
=
6
denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
85
m
−
4
=
n
4
(
m
,
n
∈
N
) denkleminin tüm çözümlerini bulunuz.
Tüm kategoriler
Akademik Matematik
736
Akademik Fizik
52
Teorik Bilgisayar Bilimi
31
Lisans Matematik
5.5k
Lisans Teorik Fizik
112
Veri Bilimi
144
Orta Öğretim Matematik
12.7k
Serbest
1k
20,297
soru
21,840
cevap
73,541
yorum
2,726,954
kullanıcı