Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/MathOperators.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
399 kez görüntülendi

3a2+3a+7=b3 eşitliğini sağlayan tüm (a,b) tamsayı ikililerini bulunuz.

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 399 kez görüntülendi
Aklıma gelen ilk yöntem diskriminant oldu:

Eşitliği a ya göre kuadratik olarak düşünürsek tamsayı çözümler için diskriminatın tam kare yani Δ=12b375=n2 olması gerekiyor. Sol taraf 3 e bölündüğünden n=3k alırsak 4b325=3k2 elde ediliyor. Fakat üsttekine benzer bir denklem oluştuğundan pek işe yarar gözükmedi bana.

Başka bir yol olarak denklemi 3a2+3a+6=b31 olarak yazıp çarpanlara ayırma kullanılabilir.

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
(a,bZ iken)

3(a2+a+2)=b313b31

b31=(b1)(b2+b+1) dir.

b0mod3 ise b12mod3 ve b2+b+11mod3 olur. (3 asal sayı olduğundan) 3 olur.

b\equiv2\mod3 ise b-1\equiv1\mod3 ve b^2+b+1\equiv1\mod3 olur. (3 asal sayı olduğundan) 3\nmid b^3-1 olur.

olur. Öyleyse b\equiv1\mod3 olmalıdır.

b=3n+1\quad (n\in\mathbb{Z}) olsun.

3a^2+3a+7=27n^3+27n^2+9n+1 olur. Sadeleşme sonunda:
a^2+a+2=9n^3+9n^2+3n=3(3n^2+3n+1) olur.
Buradan 3\mid a^2+a+2 elde ederiz. Ama :

a\equiv0\mod3\implies a^2+a+2\equiv2\mod3
a\equiv1\mod3\implies a^2+a+2\equiv1\mod3
a\equiv2\mod3\implies a^2+a+2\equiv2\mod3

olduğundan, 3\mid a^2+a+2 olması imkansızdır.
Bu eşitliği sağlayan tamsayı ikilisi yoktur.
(6.2k puan) tarafından 
Hocam şöyle de düşünülebilir sanırım:

3a^2\cdot 1+3a\cdot 1^2+1^3+6=b^3

Her iki tarafa a^3 ekleyerek (a+1)^3+6=b^3+a^3 elde olunur. Sonrasında modüler aritmetik kullanmak gerekecek.
Ben önce onu denedim. Pek yararı olmuyor. Hangi mod kullanılacağı belli olmuyor.
Küp olunca modülo 9 kullanmak işe yaradı:

x^3\equiv-1,0,1\mod 9 olduğundan eşitliğin sol tarafı modülo 9 da 5,6,7 sayılarına, diğer tarafı ise -1,0,1,2 sayılarına eşit olduğundan (a+1)^3+6=a^3+b^3 eşitliğini sağlayan tamsayıların bulunmadığını söyleyebilriz.
Evet bu güzel. Mod 9 ile daha kolay oluyormuş.
Benim çözümüm de (iki kez mod 3) mod 9 ile çözüme benziyor.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,861 kullanıcı