Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
635 kez görüntülendi
x3+3x23x+1=0 denkleminin reel kökünü bulunuz.
Orta Öğretim Matematik kategorisinde (3.4k puan) tarafından  | 635 kez görüntülendi
#TartagliaTuesday
Evet orada gördüm. Çözümü hoşuma gitti.

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
Eren Kıral'ın twitter sayfasında #TartagliaTuesday başlığında tam küpe tamamlayarak çözülmüş:

x3+3x23x+12x3=2x3  (x1)3=2x3=(x32)3
 x=1132=34321
(3.4k puan) tarafından 
0 beğenilme 0 beğenilmeme
x3+3x23x+1=0(1)
denkleminde x=y1(2)
dönüşümünü uygularsak x3+3x23x+1=0
denklemi y36y+6=0
denklemine dönüşür. Şimdi de y=z+2z(3)
dönüşümünü uygularsak y36y+6=0
denklemi z3+8z3+6=0
denklemine dönüşür. Buradan da (z3)2+6z3+8=0
yani (z3+4)(z3+2)=0
yani z3+4=0
veya z3+2=0
yani z=34
veya z=32
elde edilir. Bunu (3) nolu eşitlikte yerine yazarsak y=34234
veya y=32232
elde edilir. Bunu da (2) nolu eşitlikte yerine yazarsak x=342341 veya x=322321
bulunur. x=322321
(1) nolu denklemi sağlamaz. O halde x=342341=34321
olmalıdır.
(11.5k puan) tarafından 
Şimdi asıl sorular şunlar olmalı:

1) Neden x=y1 dönüşümü yaptık?

2) Neden y=z+2z dönüşümü yaptık?
a0 olmak üzere ax3+bx2+cx+d=0 denkleminin gerçel kökünü bulunuz.

1) x3+Bx2+Cx+D=0 denkleminde x yerine yt yazarak denklem düzenlendiğinde, t=B/3 olduğunda x2 li terim yok oluyor. Amaç denklemi sadeleştirerek daha kolay çözülebilir hale getirmek. Aslında x ekseni doğrultusunda uygun bir öteleme ile ikinci dereceden terimleri yok ediyoruz. Ötelemenin bu işi yaptığını cebirsel olarak görüyorsun fakat işin geometrisini anladığımı söyleyemem. Bu dönüşümün motivasyonu nedir bilmiyorum.

2) y3+py+q=0 denkleminde y=z+a/z dönüşümü yapılıp denklem düzenlenirse, a=p/3  olduğunda oluşan z2 ve z4 terimleri yok oluyor. Karesiz kübiklerde  cos3θ=4cos3θ3cosθ  özdeşliğine dayanan x=acosθ dönüşümü de işe yarayabiliyor. Burada a=4p3  alınabilir. Cebirsel olarak tamam ama yine işin geometrisini ya da buradaki hareketi anlamadım. Bu dönüşümün motivasyonu nedir bilmiyorum.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Şundan dolayı   k=n2m3=q24+p3270  olmak üzere  y33my2n=0 denkleminin reel kökünün y=3n+k+3nk

şeklinde olduğunu biliyoruz.

Buna göre y36y+6=0
denkleminden n=3 ,  m=2,  k=10 olduğundan y=32+34
 x=32+341
 bulunur.

(3.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,313 soru
21,868 cevap
73,590 yorum
2,864,686 kullanıcı