Çözüm: Öncelikle P(x)=x3+3x2−24x+1 denirse, P(−7)⋅P(−6)<0, P(0)⋅P(1)<0, P(3)⋅P(4)<0 olduğundan sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince bu polinomun üç gerçel kökü vardır. Belirlilik açısından bunları −7<α<−6, 0<β<1, 3<γ<4 biçiminde aralıklara sıkıştırabiliriz. a=3√α, b=3√β, c=3√γ olmak üzere t=a+b+c toplamının değerini arıyoruz. Bu belirlilik kısmını yapma amacımız a<0<b<c<|a| olduğundan, ileride ab+bc+ca türünde bir ifadeyle karşılaşırsak işaretini belirlemek faydalı olabilir. Örneğin, ab<0 ve 0<bc<−ac olup ab+bc+ca<0 olacaktır.
Şimdi şu küp açılımına bakalım:
t3=(a+b+c)3=a3+b3+c3+6abc+3ab(a+b)+3bc(c+a)+3ca(c+a)
Burada Vieta teoreminden a3+b3+c3=α+β+γ=−3 ve abc=3√αβγ=−1 yazılır. Ayrıca a+b=t−c, b+c=t−a, c+a=t−b kullanılırsa denklem
t3=3t(ab+bc+ca)
biçimine gelir. t=0 veya t2=3(ab+bc+ca) dır. t bir gerçel sayıdır. ab+bc+ca<0 olduğundan t2=3(ab+bc+ca) durumundan gerçel t değeri gelmez. O halde tek seçenek t=0 durumudur.
3√α+3√β+3√γ=0
elde edilir.