Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
680 kez görüntülendi

x3+3x224x+1 polinomunun kökleri (hepsi gerçel)  α,β,γ olsun.

(Lisans düzeyi kolay soru: Bu polinomun 3 gerçel kökü olduğunu gösteriniz)

3α+3β+3γ yı hesaplayınız.

(İpucu: genel bir çözüm değil, sadece bu polinom için yapınız)

EK: Hindistan da, Teknik Üniversitelere giriş için yapılan ortak sınavda (JEE Advanced) sorulmuş bir soru.

(Bu sınav, dünyada, Wikipedia ya göre, bu düzeydeki en zor sınavlardan biri olarak görülüyormuş)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 680 kez görüntülendi
Hatalı bir çözüm:

3α, 3β, 3γ sayıları   x9+3x624x3+1 polinomunun kökleridir.

O nedenle, 3α+3β+3γ=a8a9=0 olur.

Hata nerede?
9. dereceden polinomun 9 kökü (kompleks sayı da olabilir) olduğundan Vieta teoremi'ni yalnızca 3 kökünün toplamı için uygulamak (sayısal olarak doğru yanıt verse bile) doğru olmaz. Doğrusu, 9 kökün toplamı 0'a eşit olur.
Evet, aslında (hiçbiri gerçel sayı olmayan) diğer 6 kökü de kolayca bulabiliriz:

w=e2πi3 olsun. Bu (9.derece) polinomun tüm kökleri:

3α,w3α,w23α,3β,w3β,w23β,3γ,w3γ,w23γ olur.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Çözüm: Öncelikle P(x)=x3+3x224x+1 denirse, P(7)P(6)<0, P(0)P(1)<0, P(3)P(4)<0 olduğundan sürekli fonksiyonlar için ara değer teoremi gereğince bu polinomun üç gerçel kökü vardır. Belirlilik açısından bunları 7<α<6, 0<β<1, 3<γ<4 biçiminde aralıklara sıkıştırabiliriz. a=3αb=3βc=3γ olmak üzere t=a+b+c toplamının değerini arıyoruz. Bu belirlilik kısmını yapma amacımız a<0<b<c<|a| olduğundan, ileride ab+bc+ca türünde bir ifadeyle karşılaşırsak işaretini belirlemek faydalı olabilir. Örneğin, ab<0 ve 0<bc<ac olup ab+bc+ca<0 olacaktır.

 

Şimdi şu küp açılımına bakalım:

t3=(a+b+c)3=a3+b3+c3+6abc+3ab(a+b)+3bc(c+a)+3ca(c+a)

Burada Vieta teoreminden a3+b3+c3=α+β+γ=3 ve abc=3αβγ=1 yazılır. Ayrıca a+b=tc, b+c=ta, c+a=tb kullanılırsa denklem

t3=3t(ab+bc+ca)

biçimine gelir. t=0 veya t2=3(ab+bc+ca) dır. t bir gerçel sayıdır. ab+bc+ca<0 olduğundan t2=3(ab+bc+ca) durumundan gerçel t değeri gelmez. O halde tek seçenek t=0 durumudur.

 

3α+3β+3γ=0

 

elde edilir.

(2.6k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
2 beğenilme 0 beğenilmeme
Biraz daha kısa bir çözüm:

(α,β,γ nın gerçel olduğunu lokman gökçe güzelce göstermiş, tekrar etmeyeyim)

Polinomu (x+1)327x olarak yazabiliriz. Öyleyse:

(α+1)3=27α eşdeğer olarak, α=(α+13)3 ya da 3α=α+13 olur.

Aynı şekilde, 3β=β+13 ve 3γ=γ+13 elde edilir.

3α+3β+3γ=α+13+β+13+γ+13=α+β+γ+33=3+33=0 olur.
(6.2k puan) tarafından 
Bu çözümü, sorunun kurgusunu da açıklaması bakımından faydalı buldum. Teşekkürler Doğan hocam.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,898 kullanıcı