Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
377 kez görüntülendi
α, x33x2+1 polinomunun en büyük kökü olsun.

α2022=amod17(0a<17) ise, a yı bulunuz.

İpucu: x33x2+1(x4)(x5)(x11)mod17

(IMO (herhalde 1998) kısa listesindeki bir sorunun biraz değiştirilmiş şekli)
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından  | 377 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

    x33x2+1 polinomuna, kısaca, P(x) diyelim.
    P(1)<0, P(0)>0, P(1)<0, P(3)>0 olduğundan, bu polinomun 3 gerçel kökü vardır.
    Kökleri 1<α<3, 0<β<1, 1<γ<0 olacak şekilde adlandıralım.
    nN için αn+βn+γn (köklerin simetrik bir polinomu ve polinomun katsayıları tamsayı olduğu için) bir tamsayıdır.
    Ayrıca, P(34)<0 ve P(34)<0 olduğu için 34<γ<0 ve 0<β<34 olur.
    Bunlardan n>2 ve çift iken 0<βn+γn<1 olduğunu elde ederiz.
    Öyleyse α2022=α2022+β2022+γ20221 olur.
    αn+βn+γn in katsayılar cinsinden formülü (katsayıların bazı tamsayılar ile çarpım ve toplamı şeklinde olduğu için) mod17 için de geçerlidir. mod17 için kökler 4, 5 ve 11 olduğu için:
    (nN için) α2022+β2022+γ202242022+52022+112022mod17 olur.
    Küçük Fermat  Teoreminden, 41651611161mod17 olup 
    42022+52022+11202246+56+1161+2+89mod17 olur.
    α2022918mod17 bulunur.

(6.2k puan) tarafından 

Sorunun orijinal şekli: "  olmak üzere, α1998 nin 17 ye tam bölündüğünü gösteriniz".

Bence güzel ama biraz zor bir soru: polinomun mod17 kökleri hemen görülemiyor (benim sorumdaki ipucu orijinal soruda yok).

(Şurada çözülmüş)

Zorlu bir soru bence de. Kurgusu çok orijinal ve ufuk açıcı olmuş.
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,873 kullanıcı