$8^{2022}\equiv x\pmod{49}$

Question

Soruyu çözmek için 8 in kuvvetlerinden bir  tekrar ya da 1 bulmaya çalıştım. Sonra 2 nin kuvvetlerine mod 49 da baktım. Yine bir şey yakalayamadım.

Comments

$\phi(49)=42$ olduğunu kullanarak başlayabilirsin. Bir de $8=7+1$ ya da $64\equiv 15=2\cdot 7+1$ gibi düzenlemeler ara ara işe yarayabilir.

---

O zaman $8^{42}=1(49)$  ve $42.48=2016$ olduğundan

$8^{2016}=1(49)$   ve $8^6=43(49)$ olduğundan

$8^{2022}=1.43=43(49)$ olur. Doğru mu acaba?

---

Daha basitçe:

$8^{2022}=(7+1)^{2022}$ olduğundan, binom açılımında, $49$ ile bölünmeyen (az sayıda) terimin $\mod49$ kaça eşit olduğu bulunabilir.

---

O zaman son iki terime bakmak gerekli

$2022.7+1=x  (\mod 49)$ çözmek lazım.

$6.7+1=43(\mod 49)$ oluyor. Çok teşekkür ederim.