$y^3-3my-2n=0$ denkleminin reel kökü

Question

Burada  $a=1$ alarak $$p=c-\dfrac{b^2}{3}$$   $$q=\dfrac{2b^3}{27}-\dfrac{bc}{3}+d$$  ve $$m=\dfrac{-p}{3}, n=\dfrac{-q}{2}$$ dersek $y^3+py+q=0$  denklemi $y^3-3my-2n=0$ şeklinde yazılır.

 

Buna göre, $k=n^2-m^3=\dfrac{q^2}{4}+\dfrac{p^3}{27}\ge 0$  olmak üzere  $y^3-3my-2n=0$ denkleminin reel kökünün $$y=\sqrt[3]{n+\sqrt{k}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{k}}$$ şeklinde olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$y=\sqrt[3]{n+\sqrt{k}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{k}}$  $$y^3=\left(\sqrt[3]{n+\sqrt{k}}+\sqrt[3]{n-\sqrt{k}}\right)^3$$ ifadesi düzenlenirse  $$y^3=2n+3my$$ yani $$y^3-3my-2n=0$$  elde edilir.