Processing math: 3%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
601 kez görüntülendi
Lisans öğrencileri için bir uluslararası yarışmada sorulmuş.
Lisans Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 601 kez görüntülendi
Türev aldığımızda oluşan f  fonksiyonu sonsuz noktada aynı değeri alıyor diyebilirmiyiz emin olamadım. Öyleyse f'' sabit fonksiyon olmalı.
\sin ve \cos (veya başka bir çok fonksiyon) de sonsuz noktada aynı değeri alıyor ama (sürekli ve) sabit değil.

İpucu: Aslında f'' nin özel  bir noktada sürekli oluşu yeterli.

Her  x için sağlanan \dfrac{f(x)}{f(7x+1)}=\dfrac{1}{49}  oranı nedeniyle f nin polinom fonksiyon olmaktan başka şansı var mı?
Her x\in\mathbb{R} için f(7x+1)=49f(x) sağlayan, ama polinom olmayan fonksiyonlar var.

f(x) i,   [-6,-1)\cup[0,1) kümesinde keyfi bir şekilde tanımlayalım. Daha sonra f(-\frac16)=0, ve diğer noktalarda f(7x+1)=49f(x) kullanarak tanımlarsak her x\in\mathbb{R} için f(7x+1)=49f(x) sağlanır.
İlk aralıklardaki değerlere biraz daha özen gösterip, f nin 2. türevinin varlığını da garanti edebiliriz eminim.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

\forall x\in\mathbb{R} için 7f'(7x+1)=49f'(x) ve f''(7x+1)=f''(x) sağlanır.
7x+1=x sadece x=-\frac16 için sağlanır. Bu nedenle f'(-\frac16)=f(-\frac16)=0 olmalıdır.
Yazma kolaylığı bakımından, g=f'' diyelim.
\forall x\in\mathbb{R} için  g(7x+1)=g(x) olması periyodik olmaya BENZER bir özellikdir.
g nin (-\frac16,+\infty) arasındaki tüm değerlerinin, [0,1) aralığındaki değerlerinin tekrarı olduğunu (ve o aralıktaki değerler tarafından belirlendiğini) gösterir. Aynı şey, (-\infty,-\frac16) ve [-6,-1) aralıkları için de geçerlidir.

(Sorunun püf noktası: Her iki aralık (başka benzer aralıklar) da, (aşağıda tanımlanan) h uygulandıkça, gittikçe -\frac16 ya "yaklaşan" aralıklara dönüşür. Bu, bize, g nin, -\frac16 yi içeren her açık aralıkta, görüntü kümesindeki tüm değerleri alacağını gösterir. Bu da, sürekli oluşu nedeniyle, g yi sabit olmaya zorlayacaktır.)

h(x)=\frac{x-1}{7} (7x+1 in ters fonksiyonu) olsun, g\circ h=g olur.
\forall a>-\frac16  için (h^{n}(a))_{n=1}^{\infty} (n kez bileşke) dizisinin  -\frac16 ya yakınsadığı Monoton Yakınsaklık Teoremi kullanarak (ya da doğrudan  hesaplanarak) görülür. Benzer şekilde, \forall a<-\frac16  için (h^{n}(a))_{n=1}^{\infty} dizisi de  -\frac16 ya yakınsar.
(g\circ h=g olduğu için) \forall a>-\frac16 için, (g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} sabit (=g(a)) bir dizidir.
g fonksiyonu, -\frac16 da sürekli olduğu için,  (g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} dizisi g(-\frac16) ya yakınsar, limitin biricik oluşundan, g(a)=g(-\frac16) bulunur.
Benzer şekilde, \forall a<-\frac16 için, g(a)=g(-\frac16) bulunur.
Bu da, g nin sabit fonksiyon olması demektir. (f'' nin yalnızca -\frac16 da sürekli olması yeterlidir.)
\forall x\in\mathbb{R} için g(x)=c olsun.
Bu da (böyle bir fonksiyon varsa), f nin, en çok 2. derece polinom olduğunu gösterir.
Daha önce fark ettiğimiz, f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0 gözlemini de kullanırsak, (böyle bir fonksiyon varsa), f(x)=\frac c2(x+\frac16)^2 olması gerektiğini buluruz.
(\forall c\in\mathbb{R} için) Bu fonksiyonların (\forall x\in\mathbb{R} için) f(7x+1)=49f(x) koşulunu da sağladığı kolayca görülür.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Şurada, bu soru, (İngilizce) benzer şekilde çözülmüş (Dizinin -\frac16 ya yakınsadığını açıkça, güzel bir şekilde, göstermişler, ama, son kısımda, f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0 oluşundan yararlanmayıp, işi biraz uzatmışlar :-) ). Yarışmanın 2023 yılındaki diğer (ve diğer yıllardaki) soruları ve cevapları da aynı sitede bulunuyor.

Sizdeki bilgi ve deneyim pek az kişide vardır @DoganDonmez hocam, normaldir :)

 

Sayfayı inceleyince, bu yarışmanın 1994'ten beri düzenlendiğini gördüm. Türkiye'de üniversiteler-matematik bölümleri neden bu yarışmaya katılmıyor acaba? Rusya'dan bir ünv. katılıyor. İlginç biçimde ABD'deki üniversitelerin katıldığını görmüyorum. ABD'de üniversite öğrencileri için çok daha köklü olan PUTNAM isimli yarışma vardır. Yani bu tür yarışmalara hazırlıklıdır. ABD'dekiler, yarışmaya katılsalar çok iyi dereceler elde eder diye bekliyorum. Türkiye'de bazı matematik bölümü öğrencileri de belli bir düzeyde başarı gösterirler diye tahmin ediyorum.
20,297 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,726,982 kullanıcı