\forall x\in\mathbb{R} için 7f'(7x+1)=49f'(x) ve f''(7x+1)=f''(x) sağlanır.
7x+1=x sadece x=-\frac16 için sağlanır. Bu nedenle f'(-\frac16)=f(-\frac16)=0 olmalıdır.
Yazma kolaylığı bakımından, g=f'' diyelim.
\forall x\in\mathbb{R} için g(7x+1)=g(x) olması periyodik olmaya BENZER bir özellikdir.
g nin (-\frac16,+\infty) arasındaki tüm değerlerinin, [0,1) aralığındaki değerlerinin tekrarı olduğunu (ve o aralıktaki değerler tarafından belirlendiğini) gösterir. Aynı şey, (-\infty,-\frac16) ve [-6,-1) aralıkları için de geçerlidir.
(Sorunun püf noktası: Her iki aralık (başka benzer aralıklar) da, (aşağıda tanımlanan) h uygulandıkça, gittikçe -\frac16 ya "yaklaşan" aralıklara dönüşür. Bu, bize, g nin, -\frac16 yi içeren her açık aralıkta, görüntü kümesindeki tüm değerleri alacağını gösterir. Bu da, sürekli oluşu nedeniyle, g yi sabit olmaya zorlayacaktır.)
h(x)=\frac{x-1}{7} (7x+1 in ters fonksiyonu) olsun, g\circ h=g olur.
\forall a>-\frac16 için (h^{n}(a))_{n=1}^{\infty} (n kez bileşke) dizisinin -\frac16 ya yakınsadığı Monoton Yakınsaklık Teoremi kullanarak (ya da doğrudan hesaplanarak) görülür. Benzer şekilde, \forall a<-\frac16 için (h^{n}(a))_{n=1}^{\infty} dizisi de -\frac16 ya yakınsar.
(g\circ h=g olduğu için) \forall a>-\frac16 için, (g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} sabit (=g(a)) bir dizidir.
g fonksiyonu, -\frac16 da sürekli olduğu için, (g(h^{n}(a)))_{n=1}^{\infty} dizisi g(-\frac16) ya yakınsar, limitin biricik oluşundan, g(a)=g(-\frac16) bulunur.
Benzer şekilde, \forall a<-\frac16 için, g(a)=g(-\frac16) bulunur.
Bu da, g nin sabit fonksiyon olması demektir. (f'' nin yalnızca -\frac16 da sürekli olması yeterlidir.)
\forall x\in\mathbb{R} için g(x)=c olsun.
Bu da (böyle bir fonksiyon varsa), f nin, en çok 2. derece polinom olduğunu gösterir.
Daha önce fark ettiğimiz, f(-\frac16)=f'(-\frac16)=0 gözlemini de kullanırsak, (böyle bir fonksiyon varsa), f(x)=\frac c2(x+\frac16)^2 olması gerektiğini buluruz.
(\forall c\in\mathbb{R} için) Bu fonksiyonların (\forall x\in\mathbb{R} için) f(7x+1)=49f(x) koşulunu da sağladığı kolayca görülür.