∀x∈R için 7f′(7x+1)=49f′(x) ve f″(7x+1)=f″(x) sağlanır.
7x+1=x sadece x=−16 için sağlanır. Bu nedenle f′(−16)=f(−16)=0 olmalıdır.
Yazma kolaylığı bakımından, g=f″ diyelim.
∀x∈R için g(7x+1)=g(x) olması periyodik olmaya BENZER bir özellikdir.
g nin (−16,+∞) arasındaki tüm değerlerinin, [0,1) aralığındaki değerlerinin tekrarı olduğunu (ve o aralıktaki değerler tarafından belirlendiğini) gösterir. Aynı şey, (−∞,−16) ve [−6,−1) aralıkları için de geçerlidir.
(Sorunun püf noktası: Her iki aralık (başka benzer aralıklar) da, (aşağıda tanımlanan) h uygulandıkça, gittikçe −16 ya "yaklaşan" aralıklara dönüşür. Bu, bize, g nin, −16 yi içeren her açık aralıkta, görüntü kümesindeki tüm değerleri alacağını gösterir. Bu da, sürekli oluşu nedeniyle, g yi sabit olmaya zorlayacaktır.)
h(x)=x−17 (7x+1 in ters fonksiyonu) olsun, g∘h=g olur.
∀a>−16 için (hn(a))∞n=1 (n kez bileşke) dizisinin −16 ya yakınsadığı Monoton Yakınsaklık Teoremi kullanarak (ya da doğrudan hesaplanarak) görülür. Benzer şekilde, ∀a<−16 için (hn(a))∞n=1 dizisi de −16 ya yakınsar.
(g∘h=g olduğu için) ∀a>−16 için, (g(hn(a)))∞n=1 sabit (=g(a)) bir dizidir.
g fonksiyonu, −16 da sürekli olduğu için, (g(hn(a)))∞n=1 dizisi g(−16) ya yakınsar, limitin biricik oluşundan, g(a)=g(−16) bulunur.
Benzer şekilde, ∀a<−16 için, g(a)=g(−16) bulunur.
Bu da, g nin sabit fonksiyon olması demektir. (f″ nin yalnızca −16 da sürekli olması yeterlidir.)
∀x∈R için g(x)=c olsun.
Bu da (böyle bir fonksiyon varsa), f nin, en çok 2. derece polinom olduğunu gösterir.
Daha önce fark ettiğimiz, f(−16)=f′(−16)=0 gözlemini de kullanırsak, (böyle bir fonksiyon varsa), f(x)=c2(x+16)2 olması gerektiğini buluruz.
(∀c∈R için) Bu fonksiyonların (∀x∈R için) f(7x+1)=49f(x) koşulunu da sağladığı kolayca görülür.