(Metin Can Aydemir'in katkıları ile)
x=1 için
f(f(y))=f(1)y
f(y1)=f(y2)⟹f(f(y1))=f(f(y2))⟹f(1)y1=f(1)y2⟹y1=y2 olduğundan fonksiyon 1-1 dir.
Bir
y=ba∈Q+ için
f(f(ba))=ab yani
f(ba)→ab olduğundan fonksiyon örtendir de aynı zamanda.
x=y=1 için
f(f(1))=f(1) ve tersi mevcut olduğundan
f(1)=1 bulunur. Buna göre
f(f(y))=f2(y)=1y olmalı.
Verilen fonksiyonel denklemde
y yerine
f(y) yazarsak
f(xf(f(y)))=f(xy)=f(x)f(y)⟹f(x)=f(xy)f(y)
elde edilir.
x yerine
xy yazarsak
f(xy)=f(x)f(y)
eşitliğini elde ederiz, yani
f çarpımsal bir fonksiyondur. Buna göre fonksiyonel denklemi
f(f(y))=1y
ve
f(xy)=f(x)f(y)
eşitlikleri ile karakterize edebiliriz.
Her pozitif rasyonel sayının pay ve paydası asalların çarpımı olarak tek türlü yazılabileceğinden, fonksiyonu asallar için uygun bir şekilde tanımlamak gerekir. Buna göre bir
p asalı için
f(p)=a olduğunu varsayarak
f2(y)=1/y dönüşümü altında
f2(p)=f(a)=1/p
f3(p)=f2(a)=f(1/p)=1/a
f4(p)=f2(1/p)=f(1/a)=p
olduğundan
p↦a↦1p↦1a↦p
şeklinde bir döngü elde edilir.
Buna göre asallardan oluşan
P={p0,p1,p2,p3,...} kümesi için
pk, k-ıncı asalı göstermek üzere
f(p2k)=p2k+1 ve
f(p2k+1)=1p2k olarak tanımlarsak
f tüm asallar için tanımlanmış olur.
Sonuç olarak bir
x pozitif rasyonel sayısını
x=ra11ra22⋯rakkqb11qb22⋯qbtt olarak asal çarpanlarına ayırırsak,
f(x)=f(r1)a1f(r2)a2⋯f(rk)akf(q1)b1f(q2)b2⋯f(qt)bt
ve asallar için yukardaki tanımı kullanarak fonksiyonu tanımlamış oluruz.