Çözüm: a=3√2+√5,
b=3√2−√5 olmak üzere
x=a+b gerçel sayı değerini araştırıyoruz. Küp açılımından,
x3=(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)
olur.
ab=3√(2+√5)(2−√5)=−1 ve
a3+b3=2+√5+2−√5=4 olduğundan
x3=4−3x üçüncü dereceden denklemini elde ederiz. Bu denklemin köklerinden birinin
x=1 olduğunu görmek kolaydır.
(x−1) çarpanı olacağını artık biliyoruz ve
(x3−1)+(3x−3)=0 şeklinde düzenlersek
(x−1)(x2+x+1)+3(x−1)=0 olup
(x−1)(x2+x+4)=0 biçiminde çarpanlara ayrılır.
x2+x+4=0 denkleminin gerçel kökü olmadığı için, kübik denklemin tek gerçel kökü
x=1 dir. O halde
3√2+√5+3√2−√5=1
sonucuna ulaşırız.