Demetleştirme (sheafification) inşasının sezgisel açıklaması nedir?

2 beğenilme 0 beğenilmeme
108 kez görüntülendi
19, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Safak Ozden (3,278 puan) tarafından  soruldu

Bu soruyu cevaplamayi cok isterdim. Cevabi bekliyorum. Tesekkurler soru icin.

8000 karakter sınırını öğrendim. Okuman gerekiyor yani :)

İlk kısmını okudum. İlgili soruyu da gördüm. :) Bu perşembe Hartshorne 2. Üniteye başlayam ama yavaş yavaş öğreniyorum. Ben de aralarda sorarım. Zamanlamsı harika oldu bu soruların :)

2 Cevaplar

4 beğenilme 0 beğenilmeme

Ortalikta bir suru cebirsel geometrici var, onlardan ses cikmiyor, bari ben deneyeyim. En azindan bana itiraz etmek icin ses cikartilar. Uzunca bir yanıt oldu. Ama demet tanımına bakıp bu da ne böyle, demetleştirme neden böyle diyerek formalizmden birazcık kurtulmak isteyecek gençler için yardımcı olacağını düşünüyorum.


Önce bilindik demet orneklerine bakalim:

1- Herhangi bir $X$ uzayi icin, $U\longmapsto C(U,\mathbb{R})$

2- Yukaridaki ornekte $\mathbb{R}$ herhangi bir abelyen $A$ grubuyla degistirilebilir. Bu durumda $A$ uzerinde ayrik topoloji oldugunu varsayiyoruz.

3- $k$ cismi uzerine bir $X$ afin varyetesi icin, $U\longmapsto k(U)$.


Goruldugu uzere hepsinde su ilke gecerli: $X$ topolojik uzayi uzerinde tanimlanan bir $\mathcal{F}$ demeti esasen $X$ topolojik uzayinin acik kumelerinden bir yerlere giden bazi  fonksiyonlardan olusuyor. Benim dusunceme göre de, demetelestirmek demek, bir tane ondemet verildiginde, o ondemetin elemanlarini (sectionlarını) da fonksiyonlarımsı gibi gormek ve onlardan elde edilebilecek fonksiyonların tamamını elde etmek demek. Daha güzel ifade edeyim. $\mathcal{F}$ bir $X$ uzayı üzerinde tanımlı bir öndemet olsun ve $V\subseteq U$ açık kümeleri için kısıt homomorfizmamızı $\rho^U_V$ ile gösterelim. Bu durumda $\mathcal{F}(U)$'nun elemanlarında doğal biçimde fonksiyonlar türetebiliriz ve bu türetme sonunda kısıt fonksiyonlarıda fonksiyonların kısıtlaması olur.


Demet ve öndemetleri topolojik uzaylar üzerinde tanımlıyoruz. Topolojik uzaylar da aslında lokal olarak anlaşılan yapılar. Bu yüzden doğal olarak beklentimiz demetimizin genel davranışının yerel davranışlarından anlaşılması. Bunu yukarıdaki ilk örneğimizde aşağıdaki soruları yanıtlayarak inceleyelim, ya da yerel davranışlardan anlaşılabilir olmakla ne demek istediğimi açıklamaya çalışayım. (yanıtlar diğer örnekler için de aynı olacak kuşkusuz)

Soru 1- Elimizde $U\subseteq X$ açık kümesi ve $\{U_i\}_{i\in I}$ de $U$'nun açık bir örtüsü olsun. Şimdi şu doğru mudur? $f,g$ sürekli fonksiyonlari $U$ üzerinde tanımlı $\mathbb{R}$'ye giden ve bütün $U_i$ altkümelerine kısıtlanması eşitse bu iki fonksiyon aynı fonksiyonlar mudur?

Yanıt: Elbette (Çünkü fonksiyonların eşit olması da yerel bir özellik.)

Soru 2- Şimdi diyelim ki elimzde $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sürekli $f_i$ fonksiyonları olsun. Ve bu fonksiyonların şöyle bir uyumluluk şartını sağladığını varsayalım: $U_i$ ile $U_j$ kesişiyorsa $f_i$ ile $f_j$ kesişimde aynı olsun. Soru şu: $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden $U_i$'ye kısıtlaması $f_i$ olan sürekli bir $f$ fonksiyonu var mıdır?

Yanıt: Elbette (Çünkü sürekli fonksiyon olmak yerel bir özellik.)


Demek ki en azından örneklerimiz için yapılan tanımlar "topolojiyi göz önünde bulunduran" tanımlarmış. Yani demeti anlamak için yerel bilgiyi anlamak yeterliymiş, tıpkı bir topolojiyi anlamak için yerel bilgiyi anlamanın yetmesi gibi.

Anımsatma: Soru bir ve ikide sorgulanan şartları demetler dilinde ifade edecek olursak şöyle olur:

1- $\{U_i\}$ ailesi $U$ açık kümesinin bir açık örtüsü ve $s,t\in\mathcal{F}(U)$ olsun. Eğer her $i$ için$\rho^U_{U_i}(s)=\rho^U_{U_i}(t)$ ise $s=t$ midir?

2- $\{U_i\}$ ailesi $U$ açık kümesinin bir açık örtüsü ve $s_i\in \mathcal{F}(U_i)$ aşağıdaki şartı sağlayan elemanlar olsun: $$\rho^{U_i}_{U_i\cap U_j}(s_i)=\rho^{U_i}_{U_i\cap U_j}(s_j).$$ Bu durumda $\mathcal{F}(U)$ içinde $$\rho^U_{U_i}(s)=s_i$$ şartını sağlayan bir eleman var mıdır?


Demetleştirmeyi anlamak için tabii ki önce demet olmayan bir öndemet örneği vermek gerek. $X=\mathbb{R}$ alalım ve $U\subseteq{R}$ açık kümesi için $\mathcal{F}(U)$'yu $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden sürekli ve sınırlı fonksiyonlar kümesi olarak tanımlayalım. Şimdi bu açık ki bu bir öndemet tanımlıyor. Peki açık $U$ kümesi için bir tanım veren $\mathcal{F}$ topolojiyi gözönünde bulunduruyor mu? 

Birinci sorunun yanıtı doğal olarak evet. İkici soruyu bu duruma uygun olarak soralım: Diyelim ki elimzde $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sürekli ve sınırlı $f_i$ fonksiyonları olsun. Ve bu fonksiyonların şöyle bir uyumluluk şartını sağladığını varsayalım: $U_i$ ile $U_j$ kesişiyorsa $f_i$ ile $f_j$ kesişimde aynı olsun. Soru şu: $U$'dan $\mathbb{R}$'ye giden $U_i$'ye kısıtlaması $f_i$ olan sürekli ve sınırlı bir $f$ fonksiyonu var mıdır?


Bu sorunun yanıtı hayır. Bunu şöyle açıklayabiliriz. $\{U_n:=(-n,n)\}_{n\in\mathbb{N}}$ ailesi, $X=\mathbb{R}$'nin açık bir örtüsüdür ve $x\mapsto x$ fonksiyonu $U_i$'den $\mathbb{R}$'ye giden sınırlı bir fonksiyon. Ama $\mathbb{R}$'den $\mathbb{R}$'ye giden ve $U_i$'lere kısıtlaması birim fonksiyonu veren bir tek fonksiyon var: birim fonksiyon. Gelgelelim ki gelgelelim, bu fonksiyon sürekli osa da sınırlı değil. O halde ikinci sorunun bu öndemet için yanıtı HAYIR.

Soru 3- Yukarıdaki ikinci sorunun yanıtını en son örneğimiz için evet yapmak istiyoruz. Ama halihazırda verilmiş bilgilerden de kurtulmak istemiyoruz. Üstelik, gereksiz bilgi de istemiyoruz. Ne yapmalıyız? Eksik parçaları koymalıyız.  Peki genel olarak neler eksik? Yerel bilgisi orada olan ama kendisi orada olmayan fonksiyonlar eksik (Mesela $\mathcal{F}(\mathbb{R})$'nin içine birim fonksiyonu eksik). Doğru dürüst söylersek, sınırlı ve sürekli fonksiyonlarla yaklaşılabilen fonksiyonları, başka bir deyişle sürekli fonksiyonları koymalıyız. Şunu ispatladık (buna bir ispat denirse)

Teorem: $\mathbb{R}$ üzerinde tanımlı sınırlı ve sürekli fonksiyonlar öndemetinin demetleştirmesi birinci örnekteki sürekli fonksiyonlar demetidir.

O halde öndemetimizin elemanları fonksiyon olduğu zaman ikinci soruyu nasıl yanıtlayabileceğimizi biliyoruz. O halde öndemetin elemanlarını önce fonksiyonumsu gibi, sonra da fonksiyon gibi görebilme üzerine biraz kafa patlatalım.


Karakter sınırına ulaşmışım. Devamı ikinci cevapta.

20, Şubat, 2015 Safak Ozden (3,278 puan) tarafından  cevaplandı
20, Şubat, 2015 Safak Ozden tarafından düzenlendi
Sabit öndemetin demetleştirmesi nedir?
2 beğenilme 0 beğenilmeme

Oha 8000 karakter sınırı varmışi onu öğrendim. O yüzden ikinci yanıtta devam ediyorum.


Yerel bakıyoruz ya, iyice yerel bakalım. İyice yerel bakarken işimiz daha kolay olsun diye yeni bir örnek vermemiz gerekiyor. Bu sefer $X=\mathbb{C}$ alalım. $U$ açık kümesi için $\mathcal{F}(U)$'yu $U$'dan komplekslere giden analitik fonksiyonlar olarak tanımlayalım. Ve çok çok yakından bakalım, bir noktanın civarına bakalım. Karmaşık analiz çok güzel, analitik fonksiyonlar daha da güzel. Diyelim ki $x$ noktasını içeren bir $U$ bağlantılı (connected) açık bir kümemiz olsun ve $f$ bu küme üzerinde analitik bir fonksiyon olsun. Neyi biliyoruz, $f$ analitik fonksiyonunu $x$'in $U$'ya göre çok daha ufak bir komşuluğunda bilmemiz bütün $U$ da bilmemiz için yeterli. Başka bir deyişle $f$'nin tohumlarını (germs) biliyorsak $f$'yi de biliyoruz.İşte bu yeni bilgi. O halde tohum neydi onu anımsayalım: İki fonksiyonun $x$ noktasınki tohumlarına aynı dememiz için gereken şart o noktanın bir komşuluğunda aynı olmaları. Yani aslında $f$ fonksiyonun $x$ noktasındaki tohumu bir denklik sınıfı. Bu denklik sınıfını $[f]_x$ ile gösterelim. $x$ noktasındaki bütün tohumların kümesini de $F_x$ ile gösterelim.


O halde benzer bir şeyden (tohum/germ) öndemetler için de sözedebilirsek belki fonksiyonumsular elde edebiliriz. Bir an için bir $X$ topolojik uzayı üzerine tanımlı $\mathcal{F}$ öndemeti $U$ açık kümeleri için $\mathcal{F}(U)$'nun elamanlarını fonksiyonumsu gibi düşünelim. Bu durumda $V\subseteq U$ açık kümesiyse $\mathcal{F}(U)$'nun elemanı olan fonksiyonumsuları $V$'ye kısıtlayarak $\mathcal{F}(V)$'nin bir elemanını elde edebilirdik. Peki bu durumda tohumlar ne olacaktı. Tabii ki aynı karmaşık analizde tanımladığımız gibi olacaklardı. Daha açık bir biçimde bir tanım verelim: 


$x\in U$ ($V,W\subseteq U$ açık ve $x\in V\cap W$) bir nokta ve $f\in\mathcal{F}(V),g\in\mathcal{F}(W)$ öndemetin verdiği iki fonksiyonumsu olsun. Eğer aşağıdaki şart sağlanıyorsa $f$ ve $g$'nin $x$'deki tohumları (germs) aynıdır deriz: $$f_{|V\cap W}=g_{|V\cap W}$$ Yani $f$ fonksiyonumsunun $V\cap W$ kümesine kısıtlaması $g$'nin aynı kümeye kıstlamasına eşitse.

Anımsatma: Bu tanımla beraber elde edilen tohumlar kümesi, öndemetler için yapılmış bir noktadaki kök (stalk) tanımıyla elde edilen yapıyla aynı.


Dedik ya, sectionları fonksiyonumsu olarak görmek istiyoruz. Fonksiyonlar da her noktadaki tohumlarıyla belirleniyor. Bir fonksiyonun bir noktadaki tohumu fonksiyonun yukarıdaki tanıma göre denklik sınıfı. O halde bir $U$ açık kümesi üzerinde tanımlı $f$ fonksiyonu tanımak için $$U\longrightarrow \bigsqcup_{u\in U}F_u$$ arasında tanımlanmış $u\longmapsto [f]_u$ fonksiyonunu bilmek yeterli.


O halde $\mathcal{F}(U)$'nun elamanlarını da aynı biçimde $U$'dan stalklara giden fonksiyonlara olarak görelim. $\mathcal{F}(U)$daki bir $s$ elemanını $u$'yu $[s]_u$'ya götüren fonksiyon olarak görelim. Burada $[s]_u$ ile $s$'nin $u$'daki kökteki (stalktaki) doğal görüntüsünü (yani denklik sınıfını) kast ediyorum. Artık fonksiyonların önerdiği yolda ilerleyerek elimizde fonksiyonlar var. Ütelik bu fonksiyonlara baktığımız zaman bunlar için birinci sorunun yanıtı doğal olarak EVET. Çünkü fonksiyonlar için eşit olmak yerel bir özellik. Peki nasıl oldu bu? Diyelim ki $f,g\in\mathcal{F}(U)$ ve $f_{|U_i}=g_{|U_i}$ olsun. Bu demektir ki hangi $x\in U$ alırsak alalım o $x$'i içeren $U_i$ için $\rho^U_{U_i}(f)=\rho^U_{U_i}(g)$. Ama bu $f$ ve $g$'nin bütün köklerdeki (stalklardaki) görüntüleri aynı demek. Yani yukardaki biçimde tanımladıkları fonksiyonlar eşit. Kısaca yerel olarak eşit olduğu bilgisi olup da eşit olmayan şeyleri eşitledik.


Bundan sonra ne yapacağımızı biliyoruz. Lokal olarak bu fonksiyonlar cinsinden tanımlanmış fonksiyonları alacağız ve demetleştirme işlemini tamamlamış olacağız.

20, Şubat, 2015 Safak Ozden (3,278 puan) tarafından  cevaplandı
...