Katlama integrali neden carpma islemine benziyor ?

Question

$(f\star g)(t) = \int_\limits{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau)d\tau$

$(f\star g)_t = \sum_\limits{\tau=-\infty}^\infty f_{\tau}g_{t-\tau}$

katlama integrali ve katlama toplama yukaridaki sekilde tanimlaniyor. Sistemler sinyaller, kontrol gibi alanlarda siklikca karsimiza cikiyor. Fourier donusumu altinda cok guzel davraniyor.

 

Bugun farkettim ki biz sayilari carparken de boyle carpiyoruz aslinda (eldeleri unutursak).

$a = 11  \to a_0 =1 , a_1=1,a_{>1}=0$

$b = 123 \to b_0 =3 , b_1=2, b_2 = 1, b_{>2}=0$

$(a*b)_0 = a_0 b_0 = 3$

$(a*b)_1 = a_0 b_1 + a_1 b_0 = 2 + 3=5$

$(a*b)_2 =  a_0 b_2 + a_1 b_1 = 1 + 2=3$

$(a*b)_3 =  a_1 b_2 = 1$

$a*b = 1353$

Bu durum neden boyle? Fourier teorisine benzer bir teori var mi carpmayi hizli yapmamizi saglayacak ?